Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime=(e^-x-e^x) /(3+4 y), com y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = e^-x - e^x3 + 4y,
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é EDO separável, então vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Separe variáveis multiplicando ambos os lados por (3+4y),dx:
(3 + 4y),dy = l(e^-x - e^xr),dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral (3 + 4y),dy = integral l(e^-x - e^xr),dx
No lado esquerdo,
integral (3 + 4y),dy = 3y + 2y^2 + C1
No direito,
integral (e^-x - e^x),dx = -e^-x - e^x + C2
Reunindo constantes em C, obtemos
2y^2 + 3y = -e^-x - e^x + C

Passo 4

Use y(0)=1 para achar C. Em x=0 e y=1:
2cdot1^2 + 3cdot1 = -e^0 - e^0 + C Longrightarrow 2 + 3 = -1 -1 + C Longrightarrow 5 = C - 2 Longrightarrow C = 7
Logo a relação implícita é
2y^2 + 3y + e^x + e^-x - 7 = 0

Passo 5

Resolva essa equação quadrática em y. Pelo Fórmula de Bhaskara,
y = -3 pm raiz9 - 4cdot2l(e^x+e^-x-7r)2cdot2 = -3 pm raiz65 - 8l(e^x + e^-xr)4

Passo 6

Escolha o sinal que satisfaz y(0)=1. Em x=0, sob o sinal +:
y(0) = -3 + raiz65 - 8cdot24 = -3 + 74 = 1,
enquanto o sinal - daria -tfrac52. Portanto a solução é
y(x) = -3 + raiz65 - 8l(e^x + e^-xr)4

Resposta

boxedy(x) = -3 + raiz65 - 8l(e^x + e^-xr)4

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