Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$16 y^{\prime \prime}+24 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
16,y'' + 24,y' + 9,y = 0
Trata-se de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para resolvê-la.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y = e^r x
Então y' = r e^r x e y'' = r^2 e^r x. Substituindo na equação:
16,(r^2 e^r x) + 24,(r e^r x) + 9,(e^r x) = 0 Longrightarrow 16,r^2 + 24,r + 9 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da equação característica:
De<a = 24^2 - 4cdot16cdot9 = 576 - 576 = 0
Como De<a=0, a raiz é dupla:
r = -242cdot16 = -34

Passo 4

Para uma raiz dupla r, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^r x
Substituindo r=-tfrac34, obtemos
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-tfrac34x

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-tfrac34x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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