Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$4 y^{\prime \prime}+17 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y'' + 17,y' + 4,y = 0
O método para resolver será assumir uma solução do tipo exponencial e obter a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y(x)=e^r x. Substituindo em ,4y''+17y'+4y=0 temos
4(r^2e^r x) + 17(r e^r x) + 4(e^r x) = 0 Longrightarrow e^r xl(4r^2+17r+4r)=0
Como e^r xneq0, a parte relevante é a equação característica
4r^2 + 17r + 4 = 0

Passo 3

Para resolver
4r^2 + 17r + 4 = 0
calculamos o discriminante
De<a = 17^2 - 4cdot4cdot4 = 289 - 64 = 225,
cuja raiz quadrada é raizDe<a=15. As raízes são
r = -17 pm 152cdot4 ;Longrightarrow; r1 = -17 + 158 = -tfrac14, r2 = -17 - 158 = -4

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^-x/4 + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-x/4 + C2 e^-4x

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