Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são
,
, determine:
a) a ordem da EDO,
b) a solução geral da EDO.
Escolha uma opção:
a. a) 6
b)
b. a) 4
b)
c. a) 5
b)
d. a) 5
b)
e. a) 6
b)
a) a ordem da EDO,
b) a solução geral da EDO.
a. a) 6
b)
b)
b)
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver esse exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares homogêneas. A gente tem que descobrir duas coisas: a ordem da equação e a solução geral dela. Para isso, vamos analisar as raízes do polinômio característico que são
. Vamos precisar entender como as raízes multiplicadas afetam a ordem da EDO e como construir a solução geral a partir dessas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a ordem da EDO. A ordem de uma EDO linear homogênea é igual ao número de raízes do seu polinômio característico, contando multiplicidades. Aqui, temos as raízes
e
cada uma repetida duas vezes, além de
e
.
Então, contamos:
-
aparece 2 vezes -
aparece 2 vezes -
aparece 1 vez -
aparece 1 vez
Totalizando
raízes. Portanto, a ordem da EDO é 6.
Passo 3
Agora, vamos construir a solução geral da EDO. Quando temos raízes complexas, como
e
, com multiplicidade, usamos funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. Cada vez que uma raiz se repete, multiplicamos por
para obter soluções adicionais.
Além disso, temos raízes reais
e
, que correspondem a soluções exponenciais simples
e
. Se alguma dessas raízes se repetir, também multiplicamos por
, mas neste caso, cada uma aparece apenas uma vez.
Passo 4
Vamos montar a solução geral juntando todas essas partes:
- Para
e com multiplicidade 2:
- Para a raiz real
:
- Para a raiz real
:
Passo 5
Juntando tudo, temos a solução geral completa:
Resposta
Opção e.