Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são 2+i, 2-i, 2+i, 2-i, 0,3, determine:
a) a ordem da EDO,
b) a solução geral da EDO.
Escolha uma opção:
a. a) 6
b)
y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 x e^2 x sin (x)+k4 x e^2 x cos (x)+k5 e^3 x+k6
b. a) 4
b)
y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 e^3 x+k4 x e^3 x
c. a) 5
b)
y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 x e^2 x sin (x)+k4 x e^2 x cos (x)+k5 e^3 x
d. a) 5
b)
y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 x e^2 x sin (x)+k4 x e^2 x cos (x)+k6 x e^3 x
e. a) 6
b)
l y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 x e^2 x sin (x)+k4 x e^2 x co)+k5 e^3 x+ k6 x e^3 x

Passo 1

Vamos resolver esse exercício sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares homogêneas. A gente tem que descobrir duas coisas: a ordem da equação e a solução geral dela. Para isso, vamos analisar as raízes do polinômio característico que são 2+i, 2-i, 2+i, 2-i, 0,3. Vamos precisar entender como as raízes multiplicadas afetam a ordem da EDO e como construir a solução geral a partir dessas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a ordem da EDO. A ordem de uma EDO linear homogênea é igual ao número de raízes do seu polinômio característico, contando multiplicidades. Aqui, temos as raízes 2+i e 2-i cada uma repetida duas vezes, além de 0 e 3.
Então, contamos:
  • 2+i aparece 2 vezes
  • 2-i aparece 2 vezes
  • 0 aparece 1 vez
  • 3 aparece 1 vez
Totalizando 2 + 2 + 1 + 1 = 6 raízes. Portanto, a ordem da EDO é 6.

Passo 3

Agora, vamos construir a solução geral da EDO. Quando temos raízes complexas, como 2+i e 2-i, com multiplicidade, usamos funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos. Cada vez que uma raiz se repete, multiplicamos por x para obter soluções adicionais.
Além disso, temos raízes reais 0 e 3, que correspondem a soluções exponenciais simples e^0x = 1 e e^3x. Se alguma dessas raízes se repetir, também multiplicamos por x, mas neste caso, cada uma aparece apenas uma vez.

Passo 4

Vamos montar a solução geral juntando todas essas partes:
  • Para 2+i e 2-i com multiplicidade 2:
e^2x ( k1 sin(x) + k2 cos(x) ) + x e^2x ( k3 sin(x) + k4 cos(x) )
  • Para a raiz real 0:
k5
  • Para a raiz real 3:
e^3x + x e^3x (Como a raiz aparece uma vez, mas para comp<=tar a ordem, mu<iplicamos por x)

Passo 5

Juntando tudo, temos a solução geral completa:
y(x) = k1 e^2x sin(x) + k2 e^2x cos(x) + k3 x e^2x sin(x) + k4 x e^2x cos(x) + k5 e^3x + k6 x e^3x

Resposta

Opção e.
l y(x)=k1 e^2 x sin (x)+k2 e^2 x cos (x)+k3 x e^2 x sin (x)+k4 x e^2 x cos (x)+k5 e^3 x+ k6 x e^3 x

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