Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0
$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é resolver equações diferenciais lineares homogêneas usando a equação característica.
Passo 2
Aplicamos a substituição típica
, de modo que
e obtemos a equação característica independente de
:
Passo 3
Resolvendo o polinômio quadrático
calculamos o discriminante
. Como
, há raiz dupla
Passo 4
Para uma raiz dupla
, as duas soluções independentes são
e
.
Portanto, a solução geral combina essas duas:
Portanto, a solução geral combina essas duas:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.