Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 9y = 0
O conteúdo é resolver equações diferenciais lineares homogêneas usando a equação característica.

Passo 2

Aplicamos a substituição típica y=e^rx, de modo que
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx,
e obtemos a equação característica independente de x:
r^2 - 6r + 9 = 0

Passo 3

Resolvendo o polinômio quadrático
r^2 - 6r + 9 = 0,
calculamos o discriminante De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot9 = 36 - 36 = 0. Como De<a=0, há raiz dupla
r = 62 = 3

Passo 4

Para uma raiz dupla r=3, as duas soluções independentes são
e^3x e x,e^3x.
Portanto, a solução geral combina essas duas:

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2,x,e^3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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