Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
$2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
2y'' + 2y' + y = 0
O conteúdo exigido é o método da equação característica para ODEs de segunda ordem.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo em 2y''+2y'+y=0 gera a equação característica
2r^2 + 2r + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot2cdot12cdot2 = -2 pm raiz4 - 84 = -2 pm raiz-44 = -tfrac12 pm tfraci2

Passo 4

Como as raízes são complexas conjungadas alpha pm ibeta com alpha=-tfrac12 e beta=tfrac12, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta obtemos
y(x) = e^-x/2l(C1cos(tfracx2) + C2sin(tfracx2)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^-x/2l(C1cos(tfracx2) + C2sin(tfracx2)r)

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