Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20) y^prime=(3 y^2-x^2) / 2 x y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = 3y^2 - x^22xy
Este tipo de EDO é homogêneo, pois o lado direito depende apenas da razão y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
que transforma a equação em uma que se separa em v e x.

Passo 2

Substituindo y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Por outro lado, o lado direito vira
3y^2 - x^22xy = 3(vx)^2 - x^22x,(vx) = 3v^2x^2 - x^22v,x^2 = 3v^2 - 12v
Logo a EDO fica
v + xdvdx = 3v^2 - 12v

Passo 3

Isolando o termo com dv/dx:
xdvdx = 3v^2 - 12v - v = 3v^2 - 1 - 2v^22v = v^2 - 12v

Passo 4

Agora separamos variáveis:
2vv^2 - 1,dv = dxx
Integrando ambos os lados, obtemos
integral 2vv^2 - 1,dv = integral dxx Longrightarrow lnl|v^2 - 1r| = ln|x| + C

Passo 5

Voltando à variável original ( v = y/x):
v^2 - 1 = C,x Longrightarrow y^2x^2 - 1 = C,x Longrightarrow y^2 = x^2,(1 + Cx)

Resposta

A solução geral é
y^2 = x^2 + C,x^3,
onde C é uma constante arbitrária.

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