Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
21) (x^2+3 x y+y^2) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
l(x^2+3xy+y^2r),dx - x^2,dy = 0
Este é um caso de equação homogênea do tipo
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M e N de mesmo grau (grau 2). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v,x,
transformando a equação num problema separável em v e x.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação na forma tfracdydx = dots. Temos
l(x^2+3xy+y^2r),dx = x^2,dy Longrightarrow dydx = x^2+3xy+y^2x^2
Dividindo cada termo por x^2,
dydx = 1 + 3yx + l(yxr)^2

Passo 3

Fazendo y=v,x, então
dydx = v + xdvdx
Substituindo em tfracdydx = 1 + 3v + v^2, obtemos
v + xdvdx = 1 + 3v + v^2 Longrightarrow xdvdx = 1 + 2v + v^2 = (v+1)^2
Isto é uma equação separável em v e x.

Passo 4

Separamos e integramos:
integral dv(v+1)^2 = integral dxx
O lado esquerdo dá
integral (v+1)^-2dv = -1v+1,
e o direito dá lnlvert xrvert mais constante. Logo
-1v+1 = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a v = tfracyx, escrevemos
-1yx+1 = lnlvert xrvert + C Longrightarrow -xy+x = lnlvert xrvert + C
Podemos reorganizar para a forma implícita mais bonita
lnlvert xrvert + xx+y = C',
onde C'=-C é constante arbitrária.

Resposta

boxedlnlvert xrvert + xx+y = C

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