(1.0) Seja a família de parábolas dadas por
para
constante real, isto é, para cada
dado temos a parábola com equação
. Determine.
a) Uma curva derivável (para cada
)
que parametrize a parábola de equação
, isto é, tal que o traço de
seja essa parábola.
b) Obtenha o vetor tangente
para todo
. Expresse este vetor em termos de
e
.
c) Determine uma família de curvas planas de equação
para cada
constante real, onde
é função de duas variáveis (com gradiente em cada ponto) tal que cada uma dessas curvas seja ortogonal a parábola
.
Sugestão.
é ortogonal a curva de nível de
que passa por
. Obtenha
e daí determine
.
d) Represente as duas famílias de curvas num mesmo plano cartesiano
.
a) Uma curva derivável (para cada
b) Obtenha o vetor tangente
c) Determine uma família de curvas planas de equação
d) Represente as duas famílias de curvas num mesmo plano cartesiano
Passo 1
O enunciado trata da família uniparamétrica de parábolas
Precisamos (a) parametrizar cada uma, (b) obter seu vetor tangente e escrevê-lo em função de
, (c) achar a família de curvas ortogonais
e (d) representar ambas as famílias num mesmo plano.
Passo 2
Para cada
escolhemos o parâmetro
como a abscissa. Assim
O traço de
é exatamente a parábola
.
Passo 3
Derivando
em relação a
achamos
Como
e
, temos
(para
), e
Passo 4
As ortotrajetórias satisfazem
isto é,
Separando e integrando:
Logo podemos tomar
e as curvas de nível
são
ortogonais às parábolas.
Passo 5
Para esboçar no mesmo plano, basta traçar algumas parábolas
e algumas elipses
observando que em cada ponto de interseção elas se cruzam a
.
Resposta
a)
.
b) , ou em
:
.
c) , de modo que as ortotrajetórias são
.
d) No mesmo plano, plotar as parábolas e as elipses
, que se cruzam ortogonalmente.
b)
c)
d) No mesmo plano, plotar as parábolas