(1.0) Seja a família de parábolas dadas por
y=lambda x^2
para lambda constante real, isto é, para cada lambda dado temos a parábola com equação y=lambda x^2. Determine.
a) Uma curva derivável (para cada lambda )
alphalambda: R R^2 alphalambda(t)=(x(t), y(t))
que parametrize a parábola de equação y=lambda x^2, isto é, tal que o traço de alphalambda seja essa parábola.
b) Obtenha o vetor tangente alphalambda^prime(t) para todo t in R. Expresse este vetor em termos de x e y.
c) Determine uma família de curvas planas de equação
f(x, y)=c
para cada c constante real, onde
f: R^2 R
f é função de duas variáveis (com gradiente em cada ponto) tal que cada uma dessas curvas seja ortogonal a parábola y=lambda x^2.
Sugestão. nabla f(p) é ortogonal a curva de nível de f que passa por p. Obtenha nabla f e daí determine f.
d) Represente as duas famílias de curvas num mesmo plano cartesiano x y.

Passo 1

O enunciado trata da família uniparamétrica de parábolas
y=lambda x^2,lambdainR
Precisamos (a) parametrizar cada uma, (b) obter seu vetor tangente e escrevê-lo em função de (x,y), (c) achar a família de curvas ortogonais f(x,y)=c e (d) representar ambas as famílias num mesmo plano.

Passo 2

Para cada lambda escolhemos o parâmetro t como a abscissa. Assim
alphalambda(t)=(x(t),y(t))=(t,lambda t^2)
O traço de alphalambda é exatamente a parábola y=lambda x^2.

Passo 3

Derivando alphalambda(t) em relação a t achamos
alphalambda'(t)=(1,2lambda t)
Como x=t e y=lambda t^2, temos lambda=y/x^2 (para xneq0), e
alphalambda'(t) =(1,2lambda x) =l(1,;2,yxr)

Passo 4

As ortotrajetórias satisfazem
dydx;cdot;2yx=-1,
isto é,
dydx=-x2y
Separando e integrando:
2y,dy=-x,dx Longrightarrow y^2=-x^22+C Longrightarrow x^2+2y^2=C' ,
Logo podemos tomar
f(x,y)=x^2+2y^2,
e as curvas de nível f(x,y)=c são
x^2+2y^2=c,
ortogonais às parábolas.

Passo 5

Para esboçar no mesmo plano, basta traçar algumas parábolas
y=lambda x^2 (lambda variando, positivas e negativas)
e algumas elipses
x^2+2y^2=c (c>0),
observando que em cada ponto de interseção elas se cruzam a 90^circ.

Resposta

a) alphalambda(t)=(t,lambda t^2).
b) alphalambda'(t)=(1,2lambda t), ou em (x,y): l(1,2y/xr).
c) f(x,y)=x^2+2y^2, de modo que as ortotrajetórias são x^2+2y^2=c.
d) No mesmo plano, plotar as parábolas y=lambda x^2 e as elipses x^2+2y^2=c, que se cruzam ortogonalmente.

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