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- Um peso de 4 lb estica uma mola em 2 pés. O peso é solto do repouso 18 polegadas acima da posição de equilíbrio e o movimento resultante tem lugar em um meio que oferece uma força amortecedora igual a
da velocidade instantânea. Use a transformada de Laplace para determinar a equação do movimento
.
Passo 1
Os três itens envolvem EDOs de diferentes ordens e métodos de solução:
– No item temos uma EDO de primeira ordem linear não homogênea e condição inicial em
.
– No item temos uma EDO de segunda ordem linear homogênea, com condição sobre a derivada em
e valor de
em
(problema de contorno misto).
– No item é um sistema massa-mola amortecido, modelado por uma EDO de segunda ordem, em que vamos usar a transformada de Laplace para resolver.
– No item
– No item
– No item
Passo 2
Resolvendo o item
:
Este é um caso clássico de EDO linear de coeficientes constantes. Usamos o fator integrante
. Multiplicando a equação por
:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
:
A condição
dá
logo
Passo 3
Resolvendo o item
A característica é
Portanto a solução geral é
Calculamos
:
Usando
dá
Usando
dá
Resolvendo o sistema
somando: . Logo
Passo 4
Resolvendo o item
por transformada de Laplace.
Dados: peso lb estica
ft de uma mola, logo
,(lb/ft).
Massa em slugs:
,slug.
Amortecimento (força proporcional à velocidade).
Tomamos medido a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. O corpo é solto do repouso
in acima do equilíbrio, isto é
,ft e
.
A EDO é
Dados: peso
Massa
Amortecimento
Tomamos
A EDO é
Multiplicando por
:
Aplicando Laplace (
), usando
,
:
Substituindo:
Logo
Escrevemos
e decompomos
Inversão dá, com
:
Como
,