1. d yd t-y=1, y(0)=0
  2. y^prime prime+2 y^prime+y=0, y^prime(0)=2, y(1)=2
  3. Um peso de 4 lb estica uma mola em 2 pés. O peso é solto do repouso 18 polegadas acima da posição de equilíbrio e o movimento resultante tem lugar em um meio que oferece uma força amortecedora igual a 78 da velocidade instantânea. Use a transformada de Laplace para determinar a equação do movimento x(t).

Passo 1

Os três itens envolvem EDOs de diferentes ordens e métodos de solução:
– No item 31 temos uma EDO de primeira ordem linear não homogênea e condição inicial em t=0.
– No item 32 temos uma EDO de segunda ordem linear homogênea, com condição sobre a derivada em t=0 e valor de y em t=1 (problema de contorno misto).
– No item 33 é um sistema massa-mola amortecido, modelado por uma EDO de segunda ordem, em que vamos usar a transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Resolvendo o item 31:
y' - y = 1, y(0)=0
Este é um caso clássico de EDO linear de coeficientes constantes. Usamos o fator integrante mu(t)=e^-t. Multiplicando a equação por mu(t):
e^-ty' - e^-ty = e^-tLongrightarrowddtl(e^-tyr)=e^-t
Integramos ambos os lados:
e^-ty = integral e^-t,dt = -e^-t + C
Multiplicando por e^t:
y(t) = -1 + Ce^t
A condição y(0)=0
0 = -1 + CLongrightarrow C=1,
logo
y(t)=e^t-1

Passo 3

Resolvendo o item
A característica é
Portanto a solução geral é
Calculamos :
Usando
Usando
Resolvendo o sistema
somando: . Logo

Passo 4

Resolvendo o item 33 por transformada de Laplace.
Dados: peso 4 lb estica 2 ft de uma mola, logo
;k=tfrac42=2,(lb/ft).
Massa m em slugs:
;m=tfracpesog=tfrac432=tfrac18,slug.
Amortecimento c=tfrac78 (força proporcional à velocidade).
Tomamos x(t) medido a partir da posição de equilíbrio, positivo para baixo. O corpo é solto do repouso 18 in acima do equilíbrio, isto é x(0)=-tfrac32,ft e x'(0)=0.
A EDO é
m,x''+c,x'+k,x=0 Longrightarrow tfrac18,x''+tfrac78,x'+2,x=0
Multiplicando por 8:
x''+7,x'+16,x=0
Aplicando Laplace ( X(s)=Lx(t)), usando x(0)=-tfrac32, x'(0)=0:
s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)+7l[sX(s)-x(0)r]+16X(s)=0
Substituindo:
s^2X(s)+tfrac32s+7l[sX(s)+tfrac32r]+16X(s)=0
X(s)l(s^2+7s+16r) =-tfrac32s-tfrac212 =-tfrac32,(s+7)
Logo
X(s)=-tfrac32,(s+7)s^2+7s+16
Escrevemos
s^2+7s+16=(s+ tfrac72)^2+l(tfracraiz152r)^2,
e decompomos
s+7=(s+tfrac72)+tfrac72
Inversão dá, com omega=tfracraiz152:
x(t) =-tfrac32,e^-tfrac72tcos(omega t) -tfrac32cdottfrac72omega,e^-tfrac72tsin(omega t)
Como tfractfrac32cdottfrac72tfracraiz152=tfrac214cdottfrac2raiz15=tfrac7raiz1510,
x(t) =-tfrac32,e^-tfrac72tcos!l(tfracraiz152tr) -tfrac7raiz1510,e^-tfrac72tsin!l(tfracraiz152tr)

Resposta

31. y(t)=e^t-1 32. y(t)=l(e-1+(1+e),tr)e^-t 33.
x(t) =-tfrac32,e^-tfrac72tcos!l(tfracraiz152tr) -tfrac7raiz1510,e^-tfrac72tsin!l(tfracraiz152tr)

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