Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Eourier diretas ou inversas dos seguintes sinais:
x(t)=cos (2 pi t) e^-(t-1) u(t-1)
Dica: Transforme o cos em uma soma de exponenciais usando a fórmula de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Fourier direta ou inversa do sinal x(t) = cos(2 pi t) e^-(t-1) u(t-1). Vamos trabalhar com a Transformada de Fourier direta. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e a fórmula de Euler para transformar o cosseno em exponenciais. Assim, a gente consegue simplificar e aplicar as regras de transformação de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o cosseno usando a fórmula de Euler. Lembra que cos(theta) = e^jtheta + e^-jtheta2. Aplicando isso ao nosso sinal, temos:
cos(2 pi t) = e^j2pi t + e^-j2pi t2
Então, o sinal x(t) fica:
x(t) = e^j2pi t + e^-j2pi t2 e^-(t-1) u(t-1)

Passo 3

Agora, vamos distribuir o exponencial e^-(t-1) nas duas parcelas:
x(t) = 12 ( e^j2pi t e^-(t-1) u(t-1) + e^-j2pi t e^-(t-1) u(t-1) )
Simplificando os termos:
x(t) = 12 ( e^-(1 - j2pi) t e^1 - j2pi u(t-1) + e^-(1 + j2pi) t e^1 + j2pi u(t-1) )

Passo 4

Agora, vamos aplicar a propriedade de deslocamento no tempo na Transformada de Fourier. Sabemos que se x(t) é deslocado no tempo, a transformada fica multiplicada por e^-jomega t0, onde t0 é o deslocamento. No nosso caso, o sinal está deslocado por 1, então aplicamos essa propriedade.

Passo 5

A Transformada de Fourier de e^-atu(t) é 1a + jomega, onde a > 0. Aplicando isso aos dois termos que temos, temos:
X(omega) = 12 ( e^-jomega cdot 11 - j2pi + jomega + e^-jomega cdot 11 + j2pi + jomega )

Passo 6

Simplificando os denominadores:
X(omega) = e^-jomega2 ( 11 + j(omega - 2pi) + 11 + j(omega + 2pi) )

Passo 7

Podemos deixar a expressão assim ou simplificar ainda mais combinando os termos, mas já temos a Transformada de Fourier do sinal original.

Resposta

A Transformada de Fourier do sinal x(t) é:
X(omega) = e^-jomega2 ( 11 + j(omega - 2pi) + 11 + j(omega + 2pi) )

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