Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Eourier diretas ou inversas dos seguintes sinais:
Dica: Transforme o cos em uma soma de exponenciais usando a fórmula de Euler.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a Transformada de Fourier direta ou inversa do sinal
. Vamos trabalhar com a Transformada de Fourier direta. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e a fórmula de Euler para transformar o cosseno em exponenciais. Assim, a gente consegue simplificar e aplicar as regras de transformação de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o cosseno usando a fórmula de Euler. Lembra que
. Aplicando isso ao nosso sinal, temos:
Então, o sinal
fica:
Passo 3
Agora, vamos distribuir o exponencial
nas duas parcelas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a propriedade de deslocamento no tempo na Transformada de Fourier. Sabemos que se
é deslocado no tempo, a transformada fica multiplicada por
, onde
é o deslocamento. No nosso caso, o sinal está deslocado por 1, então aplicamos essa propriedade.
Passo 5
A Transformada de Fourier de
é
, onde
. Aplicando isso aos dois termos que temos, temos:
Passo 6
Simplificando os denominadores:
Passo 7
Podemos deixar a expressão assim ou simplificar ainda mais combinando os termos, mas já temos a Transformada de Fourier do sinal original.
Resposta
A Transformada de Fourier do sinal
é: