Escolher um item. Resolva a equação diferencial:
y^prime-cos x y=x e^x^2+sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - cos x,y = x,e^x^2+sin x
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem.
O que precisamos:
  1. Colocar no formato y'+P(x)y=Q(x).
  2. Calcular o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx.
  3. Reconhecer que ao multiplicar por mu viramos derivada de produto.
  4. Integrar para achar y.

Passo 2

Colocando no formato-padrão
y' + P(x),y = Q(x),
vemos que
P(x) = -cos x, Q(x) = x,e^x^2+sin x

Passo 3

Calcular o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral(-cos x),dx = e^-sin x
Teoria: multiplicando a equação por mu(x) a parte da esquerda vira l(mu yr)'.

Passo 4

Multiplicando tudo por mu(x)=e^-sin x:
e^-sin x,y' ;-;cos x,e^-sin x,y ;=; x,e^x^2+sin x,e^-sin x
à esquerda reconhecemos
l(e^-sin xyr)'
No lado direito simplifica:
x,e^x^2+sin x,e^-sin x = x,e^x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
l(e^-sin xyr)' = x,e^x^2 Longrightarrow e^-sin xy = integral x,e^x^2,dx + C
Para integral x,e^x^2dx, fazemos u=x^2, du=2x,dx, então
integral x,e^x^2dx = tfrac12integral e^u,du = tfrac12,e^u = tfrac12,e^x^2
Logo
e^-sin xy = tfrac12,e^x^2 + C

Passo 6

Despejando y:
y = e^sin xl(tfrac12,e^x^2 + Cr) = tfrac12,e^x^2+sin x + C,e^sin x

Resposta

boxedy(x) = tfrac12,e^x^2+sin x + C,e^sin x

Exercícios relacionados