Encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0, infty ):

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial x^2y''+xy'+(x^2-tfrac19)y=0 no intervalo (0,infty). Isto é um caso clássico de equação de Bessel de primeira espécie. Vamos usar a teoria de equação de Bessel para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a forma padrão da equação de Bessel de ordem nu:
x^2y''+x y'+(x^2-nu^2)y=0
Comparando com a dada x^2y''+xy'+(x^2-tfrac19)y=0, vemos que
nu^2=tfrac19Longrightarrownu=tfrac13

Passo 3

A solução geral da equação de Bessel de ordem não inteiro nu é
y(x)=C1Jnu(x)+C2J-nu(x)
onde Jnu e J-nu são as funções de Bessel da primeira espécie. Substituindo nu=tfrac13, obtemos a resposta.

Resposta

y(x)=C_{1}J_{1/3}(x)+C_{2}J_{-1/3}(x)

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