Encontre a solução geral para a equação diferencial dada em ( 0, infty ):

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2y''+xy'+(9x^2-4)y=0
que, em (0,∞), é uma equação de Bessel não-homogênea. Vamos usar o fato de que esse tipo de equação tem soluções em termos das funções de Bessel de primeira e segunda espécie.

Passo 2

A forma canônica da equação de Bessel de ordem nu com parâmetro a é
x^2y''+xy'+(a^2x^2-nu^2)y=0
Aqui comparamos: no nosso caso a^2=9 e nu^2=4.

Passo 3

Dessa comparação concluímos que a=3 e nu=2. Pela teoria, as soluções fundamentais são a função de Bessel de primeira espécie J2(3x) e a de segunda espécie Y2(3x).

Passo 4

Como é uma equação linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes.

Passo 5

Resposta final: a solução geral é dada por:
y(x)=C1J2(3x)+C2Y2(3x), onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1J2(3x)+C2Y2(3x)

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