- Usando a representação em série das funções de Bessel da primeira espécie,
, mostre que
, onde
.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: a gente precisa provar a relação de recorrência
a partir da série dada para
. Para isso vamos diferenciar termo a termo, multiplicar por
, usar a identidade da função Gama
e fazer um deslocamento de índice.
Passo 2
Expressão de
: começando de
temos
Multiplicando por
:
Passo 3
Combinação
: escrevemos
e somamos com
:
Passo 4
Série de
e comparação: pela definição,
Logo
Fazendo o deslocamento de índice
e usando
e
, obtém-se uma soma na forma
, exatamente igual à de
.
Passo 5
Conclusão: como os coeficientes gerais da potência
coincidem termo a termo, fica demonstrado que
isto é,
Resposta
xJ_v’(x) + vJ_v(x) - xJ_{v-1}(x) = 0