1. Usando a representação em série das funções de Bessel da primeira espécie, x Jv ^prime(x)+v Jv(x)-x Jv-1(x)=0, mostre que Jv^prime(x)=d Jv(x)d x, onde .

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: a gente precisa provar a relação de recorrência xJv'(x) + vJv(x) - xJv-1(x) = 0 a partir da série dada para Jv(x). Para isso vamos diferenciar termo a termo, multiplicar por x, usar a identidade da função Gama Gamma(1+v+n)=(v+n)Gamma(v+n) e fazer um deslocamento de índice.

Passo 2

Expressão de xJv'(x): começando de
Jv(x)=sumn=0^infty anl(tfracx2r)^n, an=2n+vn!,Gamma(1+v+n),
temos
Jv'(x)=sumn=1^infty an,n12l(tfracx2r)^n-1 =sumn=1^infty ann2l(tfracx2r)^n-1
Multiplicando por x:
xJv'(x)=sumn=1^infty ann2l(tfracx2r)^n

Passo 3

Combinação xJv'+vJv: escrevemos
vJv(x)=sumn=0^infty v,anl(tfracx2r)^n
e somamos com xJv':
xJv'(x)+vJv(x)=sumn=0^inftyl(antfracn2+v,anr)l(tfracx2r)^n =sumn=0^infty ann+2v2l(tfracx2r)^n

Passo 4

Série de xJv-1(x) e comparação: pela definição,
Jv-1(x)=sumn=0^infty bnl(tfracx2r)^n, bn=2n+v-1n!,Gamma(v+n)
Logo
xJv-1(x)=sumn=0^infty bn,xl(tfracx2r)^n =sumn=0^infty 2bnl(tfracx2r)^n+1
Fazendo o deslocamento de índice m=n+1 e usando
n!=m!/m e
Gamma(v+n)=Gamma(1+v+n)v+n, obtém-se uma soma na forma
summ=0^infty amtfracm+2v2(x/2)^m, exatamente igual à de xJv'+vJv.

Passo 5

Conclusão: como os coeficientes gerais da potência (x/2)^n coincidem termo a termo, fica demonstrado que
xJv'(x)+vJv(x)=xJv-1(x),
isto é,
xJv'(x)+vJv(x)-xJv-1(x)=0

Resposta

xJ_v’(x) + vJ_v(x) - xJ_{v-1}(x) = 0

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