Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; p(x)=e^-x^2 ;(-infty, infty)
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=12 x^2-2 x+1 ; p(x)=e^-x ;(0, infty)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, via integração direta, que os polinômios de Hermite H0,H1,H2 são ortogonais no intervalo p(x)=e^-x^2 com peso L0,L1,L2, e que os polinômios de Laguerre p(x)=e^-x são ortogonais em com peso . Para isso precisamos usar a definição de produto interno com peso e valores conhecidos de integrais gaussianas e fatoraiais.

Passo 2

Parte (a): polinômios de Hermite com peso e^-x^2.
A ortogonalidade exige que
lang<= Hm,Hnrang<==integral-infty^inftyHm(x),Hn(x),e^-x^2,dx=0(mne n)
1) H0 e H1:
lang<= H0,H1rang<==integral-infty^infty1cdot(2x),e^-x^2,dx=2integral-infty^inftyx,e^-x^2,dx=0,
pois a função é ímpar em um intervalo simétrico.
  1. H0 e H2: conhecemos
$$\int_{-\infty}{\infty}e{-x2},dx=\sqrt{\pi},\quad\int_{-\infty}{\infty}x2e{-x^2},dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
integral-infty^inftye^-x^2,dx=raizpi,integral-infty^inftyx^2e^-x^2,dx=tfracraizpi2 ã\langle H_0,H_2\rangle=\int_{-\infty}{\infty}(4x2-2)e{-x2},dx=4\cdot\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}-2,\sqrt{\pi}=2\sqrt{\pi}-2\sqrt{\pi}=0.
$$
  1. lang<= H0,H2rang<==integral-infty^infty(4x^2-2)e^-x^2,dx=4cdottfracraizpi2-2,raizpi=2raizpi-2raizpi=0 e H1:
H2
pois novamente a integranda é ímpar.

Passo 3

Parte (b): polinômios de Laguerre com peso e^-x.
A ortogonalidade exige
lang<= Lm,Lnrang<==integral0^inftyLm(x),Ln(x),e^-x,dx=0(mne n),
e usamos integral0^inftyx^n e^-x,dx=n!.
  1. L0 e L1:
$$\langle L_0,L_1\rangle=\int_{0}{\infty}1\cdot(-x+1)e{-x},dx=-\int_0^\infty x e{-x},dx+\int_0\infty e^{-x},dx=-1+1=0.
$$
  1. lang<= L0,L1rang<==integral0^infty1cdot(-x+1)e^-x,dx=-integral0^infty x e^-x,dx+integral0^infty e^-x,dx=-1+1=0 e L0:
$$\langle L_0,L_2\rangle=\int_{0}{\infty}\Bigl(\tfrac12x2-2x+1\Bigr)e^{-x},dx=\tfrac12\cdot2!-2\cdot1!+1\cdot0!=1-2+1=0.
$$
  1. L2 e lang<= L0,L2rang<==integral0^inftyl(tfrac12x^2-2x+1r)e^-x,dx=tfrac12cdot2!-2cdot1!+1cdot0!=1-2+1=0 : expandindo o produto e usando L1,
$$\langle L_1,L_2\rangle=\int_{0}{\infty}\bigl(-\tfrac12x3+\tfrac52x2-3x+1\bigr)e{-x},dx=-\tfrac12\cdot6+\tfrac52\cdot2-3\cdot1+1=-3+5-3+1=0.
$$

Resposta

Todos os produtos internos são nulos, logo as funções em cada parte são de fato ortogonais segundo o peso e o intervalo dados.

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