Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, via integração direta, que os polinômios de Hermite
são ortogonais no intervalo
com peso
, e que os polinômios de Laguerre
são ortogonais em
com peso
. Para isso precisamos usar a definição de produto interno com peso e valores conhecidos de integrais gaussianas e fatoraiais.
Passo 2
Parte (a): polinômios de Hermite com peso
.
A ortogonalidade exige que
A ortogonalidade exige que
1)
pois a função é ímpar em um intervalo simétrico.
-
e : conhecemos
$$\int_{-\infty}{\infty}e{-x2},dx=\sqrt{\pi},\quad\int_{-\infty}{\infty}x2e{-x^2},dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}.
$$
-
e :
pois novamente a integranda é ímpar.
Passo 3
Parte (b): polinômios de Laguerre com peso
.
A ortogonalidade exige
A ortogonalidade exige
e usamos
-
e :
$$\langle L_0,L_1\rangle=\int_{0}{\infty}1\cdot(-x+1)e{-x},dx=-\int_0^\infty x e{-x},dx+\int_0\infty e^{-x},dx=-1+1=0.
$$
-
e :
$$\langle L_0,L_2\rangle=\int_{0}{\infty}\Bigl(\tfrac12x2-2x+1\Bigr)e^{-x},dx=\tfrac12\cdot2!-2\cdot1!+1\cdot0!=1-2+1=0.
$$
-
e : expandindo o produto e usando ,
$$\langle L_1,L_2\rangle=\int_{0}{\infty}\bigl(-\tfrac12x3+\tfrac52x2-3x+1\bigr)e{-x},dx=-\tfrac12\cdot6+\tfrac52\cdot2-3\cdot1+1=-3+5-3+1=0.
$$
Resposta
Todos os produtos internos são nulos, logo as funções em cada parte são de fato ortogonais segundo o peso e o intervalo dados.