Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
t y^{\prime}-y=t^{2} e^{-t} . \quad t>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
t\,y' - y = t^{2}e^{-t},\quad t>0.
O conteúdo é método do fator integrante para resolver equações da forma
y' + P(t)\,y = Q(t).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t e isolando y', obtemos a forma padrão
y' - \frac{1}{t}\,y = t\,e^{-t},
logo P(t)=-\tfrac{1}{t} e Q(t)=t\,e^{-t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{t}\,dt\Bigr) =e^{-\ln t} =\frac{1}{t}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=\tfrac{1}{t}, fica
\frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^{2}}y = e^{-t},
e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{y}{t}\Bigr)=e^{-t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{y}{t} = \int e^{-t}\,dt = -e^{-t} + C.
Multiplicando por t, vem
y = -t\,e^{-t} + C\,t.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C\,t - t\,e^{-t},\quad C\in\mathbb{R}.

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