Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y^{\prime}+y=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
2\,y' + y = 3\,t^2.
O conteúdo aqui é EDO linear: vamos escrever na forma padrão y' + p(t)\,y = g(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por 2 para ficar em forma padrão, temos
y' + \tfrac12\,y = \tfrac32\,t^2.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \tfrac12\,dt\Bigr) = e^{t/2}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por \mu(t)=e^{t/2}, o lado esquerdo se torna a derivada do produto y\,e^{t/2}:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) = \tfrac32\,t^2\,e^{t/2}.
Integrando ambos os lados,
y\,e^{t/2} = \int \tfrac32\,t^2\,e^{t/2}\,dt + C.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \tfrac32\,t^2\,e^{t/2}\,dt, faça integração por partes (ou use tabela):
\int \tfrac32\,t^2\,e^{t/2}\,dt = e^{t/2}\,(3t^2 -12t +24) + \widetilde C.
Portanto
y\,e^{t/2} = e^{t/2}\,(3t^2 -12t +24) + C.

Passo 5

Basta dividir por e^{t/2} para obter a solução geral:
y(t) = 3t^2 -12t +24 + C\,e^{-t/2}.

Resposta

y(t) = 3t^2 -12t +24 + C\,e^{-t/2}.

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