Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da parte homogênea e (2) obter uma solução particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
A parte homogênea associada é
cujo polinômio característico é
Calculando o discriminante temos
logo há raiz dupla
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Para uma solução particular
tentamos a forma
pois o termo forçante é
e não coincide com
. Então
e ao substituir em
obtemos
Assim
e
Passo 4
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular: