Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4\,y'' + 12\,y' + 9\,y = e^t.
Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos (1) achar a solução geral da parte homogênea e (2) obter uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea associada é
4\,y_h'' + 12\,y_h' + 9\,y_h = 0,
cujo polinômio característico é
4r^2 + 12r + 9 = 0.
Calculando o discriminante temos
\Delta = 12^2 - 4\cdot4\cdot9 = 144 - 144 = 0,
logo há raiz dupla
r = \frac{-12}{2\cdot4} = -\frac{3}{2}.
Portanto a solução homogênea é
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{-3t/2}.

Passo 3

Para uma solução particular y_p tentamos a forma
y_p(t) = A\,e^t,
pois o termo forçante é e^t e não coincide com y_h. Então
y_p' = A\,e^t,\quad y_p'' = A\,e^t,
e ao substituir em 4y'' +12y' +9y = e^t obtemos
4A\,e^t + 12A\,e^t + 9A\,e^t = (4+12+9)A\,e^t = 25A\,e^t = e^t.
Assim
25A = 1\quad\Longrightarrow\quad A = \frac{1}{25},
e
y_p(t) = \frac{e^t}{25}.

Passo 4

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{-3t/2} + \frac{e^t}{25}.

Resposta

y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)\,e^{-3t/2} + \frac{e^t}{25}.

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