Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=e^{2 t} \cos (t)

Passo 1

O problema pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = e^{2t}\cos t.
O conteúdo aqui envolve (1) resolver a parte homogênea associada y'' - 2y' +2y=0 e (2) encontrar uma solução particular via método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos o polinômio característico
r^2 - 2r + 2 = 0.
As raízes são
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{t}\bigl(C_1 \cos t + C_2 \sin t\bigr).

Passo 3

Como o termo forçante é e^{2t}\cos t e 2 \pm i não são raízes do característico, propomos
y_p(t) = e^{2t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).

Passo 4

Vamos calcular y_p', y_p'' e substituir em y''-2y'+2y. Defina
C = 2A + B,\quad D = 2B - A.
Então
y_p' = e^{2t}\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr), \quad y_p'' = e^{2t}\bigl((2C + D)\cos t + (2D - C)\sin t\bigr).
Substituindo,
y_p'' - 2y_p' + 2y_p = e^{2t}\Bigl[(2C + D) - 2C + 2A\Bigr]\cos t + e^{2t}\Bigl[(2D - C) - 2D + 2B\Bigr]\sin t.
Isto é,
= e^{2t}\bigl[(D + 2A)\cos t + (-C + 2B)\sin t\bigr].
Para igualar a e^{2t}\cos t precisamos que
D + 2A = 1, \quad -C + 2B = 0.

Passo 5

Recordando C = 2A + B\) e \(D = 2B - A\), o sistema fica \[\begin{cases} (2B - A) + 2A = 1,\\\\ -(2A + B) + 2B = 0, \end{cases}
ou seja
\;A + 2B = 1\] e \(\;-2A + B = 0.
Da segunda equação vem B = 2A. Substituindo em A + 2B =1 A + 4A =1, logo
A = \frac{1}{5},\quad B = \frac{2}{5}.

Resposta

A solução geral é
y(t) = e^{t}\bigl(C_1 \cos t + C_2 \sin t\bigr) + e^{2t}\Bigl(\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{2}{5}\sin t\Bigr).

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