Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+6 y=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y'' - 2y' + 6y = t.
Para resolver, vamos primeiro achar a solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) usando a equação característica, e depois buscar uma solução particular adequada para o termo t.

Passo 2

Analisando a parte homogênea
y'' - 2y' + 6y = 0,
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 6 = 0.
Calculando as raízes:
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2} = 1 \pm i\sqrt{5}.
Como as raízes são complexas da forma \alpha \pm i\beta com \alpha = 1 e \beta = \sqrt{5}, a solução homogênea é
y_h(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{5}\,t) + C_2\sin(\sqrt{5}\,t)\bigr).

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p do problema completo
y'' - 2y' + 6y = t,
observamos que o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1. Então supomos
y_p(t) = A\,t + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p'(t) = A, \qquad y_p''(t) = 0.
Substituindo na EDO:
0 - 2A + 6\bigl(A\,t + B\bigr) = t.
Reagrupando termos em t e constantes:
6A\,t + (6B - 2A) = 1\cdot t + 0.
Igualando coeficientes de t e dos termos constantes, obtemos
6A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{6},
6B - 2A = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6B = 2A = \tfrac{2}{6} \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{18}.
Logo
y_p(t) = \frac{1}{6}\,t + \frac{1}{18}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{5}\,t) + C_2\sin(\sqrt{5}\,t)\bigr) + \frac{1}{6}\,t + \frac{1}{18}.

Resposta

\boxed{y(t) = e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{5}\,t) + C_2\sin(\sqrt{5}\,t)\bigr) + \frac{1}{6}\,t + \frac{1}{18},}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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