Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
2\,y''-3\,y'+y=\sin(t).
Vamos usar o método de decompor a solução em parte homogênea y_h (resolvendo a equação associada sem termo forçante) e parte particular y_p (que acomoda o forçante \sin(t)).

Passo 2

Para obter y_h resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
2\,r^2-3\,r+1=0.
Calculando o discriminante e as raízes, temos
\Delta = (-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1,
r = \frac{3\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{3\pm1}{4},
logo as raízes são r_1=1 e r_2=\tfrac12.

Passo 3

Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{\tfrac t2},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular y_p ao forçante \sin(t), tentamos o ansatz
y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
com A,B constantes a determinar. Calculamos as derivadas
y_p'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t), \qquad y_p''(t)=-A\cos(t)-B\sin(t).

Passo 5

Substituindo em 2\,y''-3\,y'+y obtemos
2(-A\cos t - B\sin t)\;-\;3(-A\sin t + B\cos t)\;+\;(A\cos t + B\sin t)
= (-2A-3B + A)\cos t \;+\;(-2B+3A + B)\sin t
=(-A-3B)\cos t \;+\;(3A - B)\sin t.
Esse resultado deve ser igual a \sin(t), ou seja
(-A-3B)\cos t + (3A - B)\sin t = 0\cdot\cos t +1\cdot\sin t.
Assim formam-se as equações
-A - 3B = 0, \qquad 3A - B = 1.

Passo 6

Resolvendo o sistema
-A - 3B = 0 \implies A=-3B,
3(-3B)-B=1 \implies -9B - B=1 \implies -10B=1\implies B=-\tfrac1{10},
A=-3\Bigl(-\tfrac1{10}\Bigr)=\tfrac{3}{10}.
Logo
y_p(t)=\tfrac{3}{10}\cos(t)-\tfrac{1}{10}\sin(t).

Passo 7

A solução geral da equação original é a soma das partes homogênea e particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1 e^{t}+C_2 e^{\tfrac t2}+\tfrac{3}{10}\cos(t)-\tfrac{1}{10}\sin(t).

Resposta

y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{\tfrac t2}+\frac{3}{10}\cos(t)-\frac{1}{10}\sin(t).

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