Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
Vamos usar o método de decompor a solução em parte homogênea
(resolvendo a equação associada sem termo forçante) e parte particular
(que acomoda o forçante
).
Passo 2
Para obter
resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
Calculando o discriminante e as raízes, temos
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
ao forçante
, tentamos o ansatz
com
constantes a determinar. Calculamos as derivadas
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Esse resultado deve ser igual a
, ou seja
Assim formam-se as equações
Passo 6
Resolvendo o sistema
Logo
Passo 7
A solução geral da equação original é a soma das partes homogênea e particular: