Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
Para resolver, vamos primeiro achar a solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) usando a equação característica, e depois buscar uma solução particular adequada para o termo
.
Passo 2
Analisando a parte homogênea
montamos a equação característica
Calculando as raízes:
Como as raízes são complexas da forma
com
e
, a solução homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
do problema completo
observamos que o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1. Então supomos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos derivadas de
:
Substituindo na EDO:
Reagrupando termos em
e constantes:
Igualando coeficientes de
e dos termos constantes, obtemos
Logo
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.