Ex3. Derive
f(x)=e^x^raiz[3]x w

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^x^raiz[3]xw
onde w é constante. Vamos usar as regras de derivada de função composta (regra da cadeia) e, para o expoente g(x)=x^h(x) com h(x)=raiz[3]xw, a diferenciação via log-derivada.

Passo 2

Defina
g(x)=x^h(x), h(x)=(xw)^1/3
Então
f(x)=e^g(x)
e, pela regra da cadeia,
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x)

Passo 3

Para achar g'(x), aplicamos log-derivada em
g(x)=x^h(x)
Escrevendo ln g(x)=h(x)ln x e derivando, obtemos
g'(x)g(x) =ddxl[h(x)ln xr] =h'(x)ln x+h(x)x
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g'(x)=g(x)l(h'(x)ln x+h(x)xr) =x^h(x)l(h'(x)ln x+h(x)xr)

Passo 4

Agora derivamos
h(x)=(xw)^1/3
Como h(x)= (xw)^1/3, pela regra da potência e da constante,
h'(x) =13(xw)^-2/3cdot w =w3,(xw)^2/3

Passo 5

Substituindo em g'(x):
g'(x) =x^(xw)^1/3l(w3,(xw)^2/3ln x+(xw)^1/3xr)
Então, finalmente,
f'(x) =e^g(x),g'(x) =e^,x^(xw)^1/3;x^(xw)^1/3 l(w3,(xw)^2/3ln x+(xw)^1/3xr)

Resposta

f'(x) =e^,x^(xw)^1/3;x^(xw)^1/3 l(w3,(xw)^2/3ln x+(xw)^1/3xr)

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