encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' = 3 + 4\sin(2t).
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos:
  1. obter a solução geral da equação homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular para o termo constante 3;
  3. encontrar uma solução particular para o termo 4\sin(2t);
  4. somar todas as partes.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 2y' = 0,
assumimos y_h=e^{rt}. Substituindo, vem
r^2 + 2r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\,-2.
Logo
y_h = C_1 + C_2 e^{-2t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Procurando uma solução particular y_{p1} para o termo constante 3. Como constante gera zero na homogênea, tentamos
y_{p1} = A t.
Então
y'_{p1} = A,\qquad y''_{p1} = 0,
e na EDO
0 + 2A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{2}.
Podemos desprezar eventual termo constante em y_{p1} pois isso é absorvido por C_1. Assim
y_{p1} = \tfrac{3}{2}\,t.

Passo 4

Agora uma solução particular y_{p2} para 4\sin(2t). Assumimos
y_{p2} = M\cos(2t) + N\sin(2t).
Calculamos
y'_{p2} = -2M\sin(2t) + 2N\cos(2t), \quad y''_{p2} = -4M\cos(2t) -4N\sin(2t),
e então
y''_{p2} + 2y'_{p2} = (-4M\cos2t -4N\sin2t) +2(-2M\sin2t +2N\cos2t)
=(-4M+4N)\cos2t +(-4N-4M)\sin2t.
Igualando a 4\sin2t dá o sistema
-4M+4N = 0, \quad -4N-4M = 4.
Daí N=M e -8M=4, logo M=N=-\tfrac{1}{2}. Portanto
y_{p2} = -\tfrac{1}{2}\cos(2t)\;-\;\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 5

Somando todas as partes, a solução geral é
y(t) = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 + C_2 e^{-2t} + \tfrac{3}{2}\,t \;-\;\tfrac{1}{2}\cos(2t)\;-\;\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Resposta

y(t) = C_1 + C_2 e^{-2t} + \frac{3}{2}\,t - \frac{1}{2}\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t).

Exercícios relacionados