encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos:
- obter a solução geral da equação homogênea associada;
- encontrar uma solução particular para o termo constante
; - encontrar uma solução particular para o termo
; - somar todas as partes.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
assumimos
. Substituindo, vem
Logo
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Procurando uma solução particular
para o termo constante
. Como constante gera zero na homogênea, tentamos
Então
e na EDO
Podemos desprezar eventual termo constante em
pois isso é absorvido por
. Assim
Passo 4
Agora uma solução particular
para
. Assumimos
Calculamos
e então
Igualando a
dá o sistema
Daí
e
, logo
. Portanto
Passo 5
Somando todas as partes, a solução geral é