encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 2e^{-t}.
O conteúdo envolve encontrar a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (usando método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Para achar a solução homogênea y_h, montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 1 = 0.
Reconhecemos que isso é (r+1)^2=0, portanto a raiz é r=-1 de multiplicidade 2. Logo,
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t e^{-t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' + 2y' + y = 2e^{-t}.
Como e^{-t} já é solução da homogênea com multiplicidade 2, fazemos o palpite
y_p(t) = A\,t^2 e^{-t},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p = A\,t^2 e^{-t},\quad y_p' = A\,e^{-t}(2t - t^2),\quad y_p'' = A\,e^{-t}(t^2 - 4t + 2).
Substituindo na equação y'' + 2y' + y:
y_p'' + 2y_p' + y_p = A e^{-t}\bigl[(t^2 - 4t + 2) + 2(2t - t^2) + t^2\bigr] = 2A\,e^{-t}.
Queremos isso igual a 2e^{-t}, logo 2A=2 e A=1.

Passo 5

Substituindo A=1 obtemos
y_p(t) = t^2 e^{-t}.
Assim, a solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t e^{-t} + t^2 e^{-t}.

Resposta

y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t + t^2\bigr)e^{-t}.

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