encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve encontrar a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (usando método dos coeficientes a determinar).
Passo 2
Para achar a solução homogênea
, montamos a equação característica associada:
Reconhecemos que isso é
, portanto a raiz é
de multiplicidade 2. Logo,
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como
já é solução da homogênea com multiplicidade 2, fazemos o palpite
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação
:
Queremos isso igual a
, logo
e
.
Passo 5
Substituindo
obtemos
Assim, a solução geral é