encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2t).
Vamos usar que a solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
onde y_h é a solução da homogênea associada e y_p é uma solução particular obtida por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Encontrar a solução homogênea de
y'' + 2y' + 5y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0,
cujas raízes são
r = -1 \pm 2i.
Portanto
y_h(t) = e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\bigr).

Passo 3

Propor y_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t), pois o termo forçante é 3\sin(2t) e não há ressonância com e^{-t}. Calculamos
y_p' = -2A\sin(2t)+2B\cos(2t),\qquad y_p'' = -4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Substituindo em y''+2y'+5y=3\sin(2t)
(A+4B)\cos(2t)+(B-4A)\sin(2t)=3\sin(2t).
Igualando coeficientes:
A+4B=0, \quad B-4A=3 \;\Longrightarrow\; A=-\tfrac{12}{17},\; B=\tfrac{3}{17}.
Logo
y_p(t)=-\tfrac{12}{17}\cos(2t)+\tfrac{3}{17}\sin(2t).

Resposta

y(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\bigr) -\frac{12}{17}\cos(2t)+\frac{3}{17}\sin(2t).

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