Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+9 y=t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9y' + 9y = t^2.
O método consiste em achar primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 9y' + 9y = 0.
A equação característica é
r^2 - 9r + 9 = 0,
cujas raízes são
r = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 36}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}t} + C_2 e^{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
y_p(t) = A t^2 + B t + C.
Então
y_p' = 2A t + B, \qquad y_p'' = 2A.
Substituindo em y'' - 9y' + 9y = t^2 vem
2A -9(2A t + B) +9(At^2 + Bt + C) = t^2,
isto é
9A t^2 +(-18A +9B)t + (2A -9B +9C) = t^2.
Comparando coeficientes de cada potência de t:
9A = 1,\quad -18A +9B = 0,\quad 2A -9B +9C = 0.
Daí
A = \tfrac19,\quad B = \tfrac{2}{9},\quad C = \tfrac{16}{81}.
Logo
y_p(t) = \tfrac{1}{9}t^2 + \tfrac{2}{9}t + \tfrac{16}{81}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}t} + C_2 e^{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}t} + \frac{1}{9}t^2 + \frac{2}{9}t + \frac{16}{81}.

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