Ex3. Derive
Y=ln [cos (sen(2 x^2-1))]

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente derive
Y = lnl[cosl(sin(2x^2 - 1)r)r].
Isso é conteúdo de derivada de funções compostas (regra da cadeia), envolvendo as derivadas de ln, de cos, de sin e da função interna 2x^2-1.

Passo 2

Começamos aplicando a derivada do logaritmo natural:
ddxlnl(f(x)r) = f'(x)f(x)
Aqui f(x)=cos(sin(2x^2-1)), então
Y' = 1cos(sin(2x^2-1));cdot;ddxl[cos(sin(2x^2-1))r]

Passo 3

Agora derivamos cosl(g(x)r) usando
ddxcos(g(x)) = -sin(g(x));g'(x)
Tomando g(x)=sin(2x^2-1), vem
ddxl[cos(sin(2x^2-1))r] = -sinl(sin(2x^2-1)r);cdot;ddxl[sin(2x^2-1)r]

Passo 4

Agora a derivada de sin(h(x)) é
ddxsin(h(x)) = cos(h(x));h'(x)
Com h(x)=2x^2-1, temos
ddxsin(2x^2-1) = cos(2x^2-1);cdot;ddx(2x^2-1)

Passo 5

E, por fim, a derivada de 2x^2-1 é
ddx(2x^2-1) = 4x
Juntando tudo:
Y' = 1cos(sin(2x^2-1));l[-sin(sin(2x^2-1))r];l[cos(2x^2-1)r];(4x)

Resposta

boxedY' = -,4x,cos(2x^2-1),sin!l(sin(2x^2-1)r)cos!l(sin(2x^2-1)r)
Ou, simplificando sin/cos=tan:
Y' = -4x,cos(2x^2-1),tan!l(sin(2x^2-1)r)

Exercícios relacionados