Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-2 y=t+e^{t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 2y = t + e^{t}.
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico de superposição: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois somamos a uma solução particular para o termo não homogêneo t+e^t.

Passo 2

Resolvemos a equação característica da parte homogênea
r^2 - 2r - 2 = 0.
As raízes são
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{(1+\sqrt{3})t} + C_2 e^{(1-\sqrt{3})t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo polinomial t. Assumimos
y_{p1}(t) = A\,t + B.
Então
y_{p1}' = A,\quad y_{p1}'' = 0.
Substituindo em y'' - 2y' - 2y = t
0 - 2A -2(A t + B) = t \quad\Longrightarrow\quad -2A\,t \;-\;2B -2A = t.
Igualando coeficientes em t e termo constante:
-2A = 1\\ \Rightarrow\\ A = -\tfrac12, \qquad -2B -2A = 0\\ \Rightarrow\\ B = \tfrac12.
Portanto
y_{p1}(t) = -\tfrac12\,t + \tfrac12.

Passo 4

Para o termo exponencial e^t, usamos
y_{p2}(t) = C\,e^t.
Calculamos
y_{p2}' = C\,e^t,\quad y_{p2}'' = C\,e^t,
e substituímos em y'' - 2y' - 2y = e^t:
C e^t - 2C e^t - 2C e^t = e^t \quad\Longrightarrow\quad (-3C)\,e^t = e^t \quad\Longrightarrow\quad C = -\tfrac13.
Logo
y_{p2}(t) = -\tfrac13\,e^t.

Passo 5

Pela superposição, a solução particular total é
y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = -\tfrac12\,t + \tfrac12 - \tfrac13\,e^t,
e a solução geral da equação original é
y(t) = y_h(t) + y_p(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^{(1+\sqrt{3})t} + C_2 e^{(1-\sqrt{3})t} - \tfrac12\,t + \tfrac12 \;-\; \tfrac13\,e^t.

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