Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
Informação fornecida: a equação diferencial é
y^{\prime\prime}+5y^{\prime}=0.
É uma equação homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes e sem termo independente (termo fonte).

Passo 2

Ideia do método (testando uma solução exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se buscar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Isso porque derivando essa função obtemos:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x},
ou seja, a derivada preserva a forma exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação \;y^{\prime\prime}+5y^{\prime}=0\; obtemos
r^{2}e^{r x}+5r e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq0 para todo x, podemos dividir ambos os lados por e^{r x} e obter a equação característica
r^{2}+5r=0.

Passo 4

Resolver a equação característica r^{2}+5r=0. Fatore:
r(r+5)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=-5.
São duas raízes reais distintas. Para o caso de duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Aplicando as raízes r_{1}=0 e r_{2}=-5 obtemos
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{-5x}=C_{1}+C_{2}e^{-5x},
pois e^{0\cdot x}=1. Aqui C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule as derivadas de y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-5x}:
y'(x)=-5C_{2}e^{-5x},\qquad y''(x)=25C_{2}e^{-5x}.
Substituindo na equação:
y''+5y' = 25C_{2}e^{-5x}+5(-5C_{2}e^{-5x})=25C_{2}e^{-5x}-25C_{2}e^{-5x}=0,
logo a solução está correta.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-5x}

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