Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0)
(y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0)
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
Informação fornecida: a equação diferencial é
Informação fornecida: a equação diferencial é
É uma equação homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes e sem termo independente (termo fonte).
Passo 2
Ideia do método (testando uma solução exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se buscar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Isso porque derivando essa função obtemos:
ou seja, a derivada preserva a forma exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
.
Passo 3
Substituindo
na equação
obtemos
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
e obter a equação característica
Passo 4
Resolver a equação característica
. Fatore:
Portanto as raízes são
São duas raízes reais distintas. Para o caso de duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Aplicando as raízes
e
obtemos
pois
. Aqui
e
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se houver.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule as derivadas de
:
Substituindo na equação:
logo a solução está correta.