Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{(5)}-3 y^{(4)}+3 y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(5)}-3 y^{(4)}+3 y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0.
Informações dadas importantes:
  • A equação é homogênea (lado direito igual a 0).
  • É uma equação diferencial de ordem 5 envolvendo apenas derivadas de y (não aparece y sem derivada).
  • Queremos a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções que contém cinco constantes arbitrárias (uma para cada ordem).

Passo 2

Escolha do método: como a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes (os coeficientes das derivadas são números), o método padrão é procurar soluções da forma exponencial y=\mathrm{e}^{r x}, levar isso à chamada equação característica e resolver o polinômio resultante. Vou usar esse método porque transforma a EDO em um problema algébrico (achar raízes de um polinômio), que é direto de aplicar numa prova e gera a forma da solução geral de maneira sistemática.

Passo 3

Derivando a tentativa y=\mathrm{e}^{r x} e substituindo na equação, cada derivada multiplica por r. Assim obtemos a equação característica (polinômio em r):
r^{5}-3 r^{4}+3 r^{3}-3 r^{2}+2 r=0.
A ideia agora é fatorar esse polinômio e achar todas as raízes r.

Passo 4

Note que todos os termos do polinômio têm um fator comum r. Fatorando r obtemos:
r\bigl(r^{4}-3 r^{3}+3 r^{2}-3 r+2\bigr)=0.
Logo r=0 é uma raiz. Agora precisamos fatorar o polinômio quartico
r^{4}-3 r^{3}+3 r^{2}-3 r+2.

Passo 5

Para fatorar o quartico, tento raízes racionais simples (teorema do resto / possíveis raízes divisores de 2: \pm1,\pm2). Testo r=1:
1^{4}-3\cdot1^{3}+3\cdot1^{2}-3\cdot1+2=1-3+3-3+2=0.
Portanto r=1 é raiz e (r-1) é fator. Faço a divisão sintética (ou divisão polinomial) do quartico por (r-1). Coeficientes do quartico: 1,\,-3,\,3,\,-3,\,2. Usando divisão por r-1:
Trazer 1. Multiplicar por 1 1. Somar a -3 -2. Multiplicar por 1 -2. Somar a 3 1. Multiplicar por 1 1. Somar a -3 -2. Multiplicar por 1 -2. Somar a 2 0 (resto zero).
O quociente é o polinômio cúbico
r^{3}-2 r^{2}+r-2.
Assim
r^{4}-3 r^{3}+3 r^{2}-3 r+2=(r-1)\bigl(r^{3}-2 r^{2}+r-2\bigr).

Passo 6

Agora fatoro o cúbico r^{3}-2 r^{2}+r-2. Testo raízes racionais candidatas novamente: r=1 não é (calcula-se 1-2+1-2=-2), testo r=2:
2^{3}-2\cdot2^{2}+2-2=8-8+2-2=0,
logo r=2 é raiz e (r-2) é fator. Faço divisão sintética do cúbico por (r-2). Coeficientes 1,\,-2,\,1,\,-2.
Trazer 1. Multiplicar por 2 2. Somar a -2 0. Multiplicar por 2 0. Somar a 1 1. Multiplicar por 2 2. Somar a -2 0.
O quociente é o quadrático
r^{2}+0\cdot r+1 = r^{2}+1.
Portanto
r^{3}-2 r^{2}+r-2=(r-2)(r^{2}+1).

Passo 7

Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio característico é
r\,(r-1)\,(r-2)\,(r^{2}+1)=0.
As raízes são:
r_{1}=0,\quad r_{2}=1,\quad r_{3}=2,\quad r_{4}=i,\quad r_{5}=-i.
Todas as raízes são simples (multiplicidade 1).

Passo 8

Agora a regra que liga raízes às soluções:
  • Se r=a é uma raiz real simples, contribui com a solução \mathrm{e}^{a x}.
  • Se r=\alpha\pm i\beta for um par complexo conjugado, as soluções reais correspondentes são \mathrm{e}^{\alpha x}\cos(\beta x) e \mathrm{e}^{\alpha x}\sin(\beta x).
  • Se uma raiz tiver multiplicidade m>1, apareceriam fatores adicionais x^{k}\mathrm{e}^{r x} para k=0,\dots,m-1. (No nosso caso não há multiplicidade maior que 1.)
Aplicando ao nosso conjunto de raízes:
  • r=0 dá a solução constante \mathrm{e}^{0\cdot x}=1.
  • r=1 \mathrm{e}^{x}.
  • r=2 \mathrm{e}^{2x}.
  • O par r=\pm i tem \alpha=0 e \beta=1, então dá \cos x e \sin x (pois \mathrm{e}^{0\cdot x}\cos(1\cdot x)=\cos x, etc.).

Passo 9

Juntando todas as soluções independentes e introduzindo constantes arbitrárias \(C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5}) (uma para cada ordem), a solução geral é:
y(x)=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}+C_{4}\cos x+C_{5}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}\mathrm{e}^{x}+C_{3}\mathrm{e}^{2x}+C_{4}\cos x+C_{5}\sin x

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