Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas importantes:
- A equação é homogênea (lado direito igual a
). - É uma equação diferencial de ordem
envolvendo apenas derivadas de (não aparece sem derivada). - Queremos a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções que contém cinco constantes arbitrárias (uma para cada ordem).
Passo 2
Escolha do método: como a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes (os coeficientes das derivadas são números), o método padrão é procurar soluções da forma exponencial
, levar isso à chamada equação característica e resolver o polinômio resultante. Vou usar esse método porque transforma a EDO em um problema algébrico (achar raízes de um polinômio), que é direto de aplicar numa prova e gera a forma da solução geral de maneira sistemática.
Passo 3
Derivando a tentativa
e substituindo na equação, cada derivada multiplica por
. Assim obtemos a equação característica (polinômio em
):
A ideia agora é fatorar esse polinômio e achar todas as raízes
.
Passo 4
Note que todos os termos do polinômio têm um fator comum
. Fatorando
obtemos:
Logo
é uma raiz. Agora precisamos fatorar o polinômio quartico
Passo 5
Para fatorar o quartico, tento raízes racionais simples (teorema do resto / possíveis raízes divisores de
:
). Testo
:
Portanto
é raiz e
é fator. Faço a divisão sintética (ou divisão polinomial) do quartico por
. Coeficientes do quartico:
. Usando divisão por
:
Trazer
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
(resto zero).
O quociente é o polinômio cúbico
Assim
Passo 6
Agora fatoro o cúbico
. Testo raízes racionais candidatas novamente:
não é (calcula-se
), testo
:
logo
é raiz e
é fator. Faço divisão sintética do cúbico por
. Coeficientes
.
Trazer
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
. Multiplicar por
dá
. Somar a
dá
.
O quociente é o quadrático
Portanto
Passo 7
Reunindo tudo, a fatoração completa do polinômio característico é
As raízes são:
Todas as raízes são simples (multiplicidade
).
Passo 8
Agora a regra que liga raízes às soluções:
- Se
é uma raiz real simples, contribui com a solução . - Se
for um par complexo conjugado, as soluções reais correspondentes são e . - Se uma raiz tiver multiplicidade
, apareceriam fatores adicionais para . (No nosso caso não há multiplicidade maior que .)
Aplicando ao nosso conjunto de raízes:
-
dá a solução constante . -
dá . -
dá . - O par
tem e , então dá e (pois , etc.).
Passo 9
Juntando todas as soluções independentes e introduzindo constantes arbitrárias
) (uma para cada ordem), a solução geral é:
onde
são constantes reais arbitrárias.