Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
t y^{\prime}+2 y=t^{2}-t+1 ; y(1)=\frac{1}{2}, t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,y' + 2\,y = t^{2} - t + 1,\quad t>0,
com condição inicial y(1)=\tfrac12.
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem na forma
y' + p(t)\,y = g(t),
onde, ao dividir por t, teremos
p(t)=\frac{2}{t}, \quad g(t)=t - 1 + \frac{1}{t}.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln t\bigr) = t^{2}.
Multiplicando a equação original por \mu(t)=t^2 temos
t^2 y' + 2t\,y = t^2\bigl(t-1+\tfrac1t\bigr) = t^3 - t^2 + t.

Passo 3

Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada de t^2 y:
\frac{d}{dt}\bigl(t^2 y\bigr) = t^3 - t^2 + t.
Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2 y = \int\bigl(t^3 - t^2 + t\bigr)\,dt + C = \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C.

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = \frac{1}{t^2}\Bigl(\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C\Bigr) = \frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac{1}{2} + C\,t^{-2}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=\tfrac12:
\frac12 = \frac{1^2}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C\cdot1^{-2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + C.
Somando os termos numéricos:
\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3 - 4 + 6}{12} = \frac{5}{12},
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\frac12 = \frac{5}{12} + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{2} - \frac{5}{12} = \frac{6-5}{12} = \frac{1}{12}.

Resposta

A solução particular que satisfaz y(1)=\tfrac12 é
\boxed{y(t)=\frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}\,t^{-2},\quad t>0.}

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