Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{`}-y=2 t e^{2 t} ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 2t\,e^{2t},\quad y(0)=1.
Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(t)=-1 na forma padrão y'+P(t)\,y=Q(t). O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}=e^{\int (-1)\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) temos
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2t\,e^{2t}e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr)=2t\,e^{t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr)\,dt = \int 2t\,e^{t}\,dt.
Para o lado direito, usamos integração por partes com u=2t, dv=e^{t}dt:
\int 2t\,e^{t}\,dt =2t\,e^{t}-\int 2\,e^{t}\,dt =2t\,e^{t}-2\,e^{t}+C.
Logo
y\,e^{-t}=2t\,e^{t}-2\,e^{t}+C.

Passo 4

Isolando y e multiplicando por e^{t}:
y=2t\,e^{2t}-2\,e^{2t}+C\,e^{t}.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = 2\cdot0\cdot e^{0} -2\,e^{0} + C\,e^{0} = -2 + C \quad\Longrightarrow\quad C=3.

Resposta

\boxed{y(t)=2t\,e^{2t}-2\,e^{2t}+3\,e^{t}}.

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