(2 pontos) O Teorema de Green diz que sendo
uma curva plana simples, fechada, continua por partes, orientada positivamente e
a regiôo plana delimitada por
, vale que
onde
e
são funções que possuem derivadas parciais de primeira ordem continuas sobre una região aberta que contenha
.
(a) Descreva em suas palavras o que significa a igualdade (1). Faça um desenho representando a situação. Em que situações o Teorema de Green pode ser útil?
(b) Dada uma curva plana
, use o Teorema de Green para justificar que a integral
fornece a área da região plana delimitada pela curva
.
(c) Utilize o item anterior para mostrar que a área do círculo de raio
é
.
(a) Descreva em suas palavras o que significa a igualdade (1). Faça um desenho representando a situação. Em que situações o Teorema de Green pode ser útil?
(b) Dada uma curva plana
(c) Utilize o item anterior para mostrar que a área do círculo de raio
Passo 1
O enunciado apresenta o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha
ao integral duplo sobre a região
delimitada por
. Pedem: (a) interpretar geometricamente a igualdade, (b) justificar que
é a área de
, (c) usar esse resultado para obter a área do círculo de raio
.
Passo 2
A igualdade
significa que a circulação do campo
ao longo da fronteira
é igual à soma (integral) do “giro” local de
em
menos o de
em
em toda a região interna
.
Em outras palavras, o efeito acumulado de pequenas rotações dentro de reproduz a circulação no contorno.
(Figura: desenhe uma curva fechada orientada positivamente—anticlockwise—em torno de uma região
.)
O Teorema de Green é útil para transformar integrais de linha em integrais duplas (e vice-versa), facilitando cálculos de trabalho, fluxo e áreas em problemas de física e geometria.
Em outras palavras, o efeito acumulado de pequenas rotações dentro de
(Figura: desenhe uma curva fechada
O Teorema de Green é útil para transformar integrais de linha em integrais duplas (e vice-versa), facilitando cálculos de trabalho, fluxo e áreas em problemas de física e geometria.
Passo 3
Para obter a área de
pela integral de linha, escolhemos um campo
tal que
Definimos
pois
Aplicando Green:
Substituindo
e
na integral de linha obtemos
Passo 4
No caso do círculo de raio
, parametrize
Então
e o integrando é
Logo
Resposta
(a) A igualdade de Green diz que a circulação do campo
em torno da curva
iguala a integral do “rotacional”
sobre a região
delimitada. Geometricamente, a soma de rotações internas gera a circulação externa. Útil para converter integrais de linha em duplas e vice-versa em cálculos de trabalho, fluxo e área.
(b) Escolhendo ,
, tem-se
, e por Green
.
(c) Parametrizando o círculo e aplicando obtém-se
.
(b) Escolhendo
(c) Parametrizando o círculo e aplicando