(2 pontos) O Teorema de Green diz que sendo C uma curva plana simples, fechada, continua por partes, orientada positivamente e D a regiôo plana delimitada por C, vale que
\int_{C} P d x+Q d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d A
onde P e Q são funções que possuem derivadas parciais de primeira ordem continuas sobre una região aberta que contenha D.
(a) Descreva em suas palavras o que significa a igualdade (1). Faça um desenho representando a situação. Em que situações o Teorema de Green pode ser útil?
(b) Dada uma curva plana \gamma(t)=(x(t), y(t)), use o Teorema de Green para justificar que a integral
\frac{1}{2} \int_{0} x d y-y d x
fornece a área da região plana delimitada pela curva r(t).
(c) Utilize o item anterior para mostrar que a área do círculo de raio r é \pi r^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha
\int_{C}P\,dx+Q\,dy
ao integral duplo sobre a região D delimitada por C. Pedem: (a) interpretar geometricamente a igualdade, (b) justificar que
\tfrac12\int_{C}(x\,dy - y\,dx)
é a área de D, (c) usar esse resultado para obter a área do círculo de raio r.

Passo 2

A igualdade
\int_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA
significa que a circulação do campo (P,Q) ao longo da fronteira C é igual à soma (integral) do “giro” local de Q em x menos o de P em y em toda a região interna D.
Em outras palavras, o efeito acumulado de pequenas rotações dentro de D reproduz a circulação no contorno.
(Figura: desenhe uma curva fechada C orientada positivamente—anticlockwise—em torno de uma região D.)
O Teorema de Green é útil para transformar integrais de linha em integrais duplas (e vice-versa), facilitando cálculos de trabalho, fluxo e áreas em problemas de física e geometria.

Passo 3

Para obter a área de D pela integral de linha, escolhemos um campo (P,Q) tal que
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1.
Definimos
P=-\tfrac12\,y, \quad Q=\tfrac12\,x,
pois
\frac{\partial Q}{\partial x}=\tfrac12, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=-\tfrac12, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1.
Aplicando Green:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}1\,dA = \text{Área}(D).Á
Substituindo P e Q na integral de linha obtemos
\text{Área}(D) = \int_{C}\Bigl(-\tfrac12\,y\,dx+\tfrac12\,x\,dy\Bigr) = \tfrac12\int_{C}(x\,dy-y\,dx).Á

Passo 4

No caso do círculo de raio r, parametrize
x(t)=r\cos t, \quad y(t)=r\sin t, \quad 0\le t\le2\pi.
Então
x'(t)=-r\sin t, \quad y'(t)=r\cos t,
e o integrando é
x\,y'-y\,x' = r\cos t\,(r\cos t)-r\sin t\,(-r\sin t) = r^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t) = r^{2}.
Logo
\text{Área} = \tfrac12\int_{0}^{2\pi}r^{2}\,dt = \tfrac12\cdot r^{2}\cdot2\pi = \pi r^{2}.Á

Resposta

(a) A igualdade de Green diz que a circulação do campo (P,Q) em torno da curva C iguala a integral do “rotacional” \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y sobre a região D delimitada. Geometricamente, a soma de rotações internas gera a circulação externa. Útil para converter integrais de linha em duplas e vice-versa em cálculos de trabalho, fluxo e área.
(b) Escolhendo P=-\tfrac12y, Q=\tfrac12x, tem-se \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y = 1, e por Green
\tfrac12\int_{C}(x\,dy-y\,dx)=\iint_{D}1\,dA=\mathrm{Área}(D)Á.
(c) Parametrizando o círculo e aplicando \tfrac12\int_{0}^{2\pi}r^{2}\,dt obtém-se \pi r^{2}.

Exercícios relacionados