Exercicio 4.11

Achar, se existir, o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x}{x^{4}+y^{4}}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede estudar a existência de dois limites de funções de duas variáveis no ponto (0,0):
L_1 = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x}{x^4+y^4}
e
L_2 = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}.
O conteúdo aqui é método de caminhos e desigualdades (por exemplo AM–GM) para mostrar não existência de limite ou divergência.

Passo 2

Para L_1, escolhemos o caminho y=0. Então
\frac{x}{x^4+y^4}\Big|_{y=0} = \frac{x}{x^4} = \frac{1}{x^3}.
Ao fazermos x\to0, \tfrac1{x^3} diverge (tende a +\infty se x>0 e a -\infty se x<0).

Passo 3

Como ao longo de y=0 a expressão não se aproxima de um valor finito único, concluímos que L_1 não existe (é divergente).

Passo 4

Para L_2, note que x^2y^2\ge0. Pela desigualdade AM–GM aplicada a x^4 e y^4, temos
\frac{x^4+y^4}{2}\;\ge\;\sqrt{x^4y^4}=x^2y^2 \quad\Longrightarrow\quad x^4+y^4\;\ge\;2\,x^2y^2.
Logo, para todo (x,y)\neq(0,0),
0 \;\le\; \frac{x^2y^2}{x^4+y^4} \;\le\; \frac{x^2y^2}{2\,x^2y^2} =\frac12.
Isso mostra que qualquer limite se, porventura, existisse, estaria entre 0 e \tfrac12.

Passo 5

Agora examinamos dois caminhos:
  1. Se y=0, então \tfrac{x^2y^2}{x^4+y^4}=0.
  2. Se y=x, então
\frac{x^2y^2}{x^4+y^4} = \frac{x^4}{x^4+x^4} = \frac12.
Como pelos caminhos y=0 e y=x a expressão tende a valores distintos 0 e \tfrac12, o limite não pode existir.

Resposta

L_1 não existe (diverge). L_2 não existe.

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