Exercicio 4.11
Achar, se existir, o limite
Passo 1
O enunciado pede estudar a existência de dois limites de funções de duas variáveis no ponto
:
e
O conteúdo aqui é método de caminhos e desigualdades (por exemplo AM–GM) para mostrar não existência de limite ou divergência.
Passo 2
Para
, escolhemos o caminho
. Então
Ao fazermos
,
diverge (tende a
se
e a
se
).
Passo 3
Como ao longo de
a expressão não se aproxima de um valor finito único, concluímos que
não existe (é divergente).
Passo 4
Para
, note que
. Pela desigualdade AM–GM aplicada a
e
, temos
Logo, para todo
,
Isso mostra que qualquer limite se, porventura, existisse, estaria entre
e
.
Passo 5
Agora examinamos dois caminhos:
- Se
, então . - Se
, então
Como pelos caminhos
e
a expressão tende a valores distintos
e
, o limite não pode existir.