Em R , qual é a solução da inequação \frac{x-4}{3 x} \leq 0 ?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x-4}{3x} \leq 0
em \mathbb{R}. O conteúdo envolve estudo de sinal de uma fração cujo numerador e denominador são funções afins.

Passo 2

Identificamos o domínio da expressão: como há divisão por x, devemos ter x \neq 0.

Passo 3

Repare que o denominador 3x tem coeficiente 3>0, então não invertemos o sinal ao multiplicar por ele. A inequação
\frac{x-4}{3x} \leq 0
é equivalente a
\frac{x-4}{x} \leq 0.

Passo 4

Determinamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam:
- Numerador x-4=0 em x=4.
- Denominador x=0, fora do domínio.

Passo 5

Analisamos o sinal de \tfrac{x-4}{x} em cada intervalo determinado por 0 e 4:
Para x<0: \,x-4<0 e x<0 \tfrac{x-4}{x}>0.
Para 0<x<4: \,x-4<0 e x>0 \tfrac{x-4}{x}<0.
Para x>4: \,x-4>0 e x>0 \tfrac{x-4}{x}>0.
Em x=4, o valor da fração é zero, o que satisfaz “ \leq0”. Em x=0 a expressão não está definida.

Passo 6

Juntando as partes onde a fração é não positiva (negativa ou zero) e respeitando o domínio, obtemos
0<x\le4.

Resposta

(0,4]

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