A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
x^216-(y-1)^29=1
Quais os semi-eixos e o centro?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole, que é um tipo de curva no plano cartesiano. A gente vai precisar identificar o centro da hipérbole e os seus semi-eixos (a e b) a partir da equação que foi dada. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da hipérbole e comparar com a que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a forma padrão da equação de uma hipérbole. Existem duas formas, dependendo da orientação da hipérbole:
  1. Hipérbole horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, a hipérbole está aberta para os lados esquerdo e direito.
  1. Hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Neste caso, ela está aberta para cima e para baixo.
Na nossa equação:
x^216 - (y-1)^29 = 1
a diferença dos termos mostra que é uma hipérbole horizontal, porque o termo de x vem primeiro e com sinal positivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o centro da hipérbole. Na forma padrão, o centro é dado pelos pontos (h, k). Observando a nossa equação:
(x - 0)^216 - (y - 1)^29 = 1
Podemos ver que temos (x - h)^2 com h = 0 e (y - k)^2 com k = 1. Então, o centro da hipérbole é (0, 1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os semi-eixos a e b. Na forma padrão da hipérbole horizontal:
  • a^2 está no denominador do termo que envolve x, então:
a^2 = 16 implies a = raiz16 = 4
  • b^2 está no denominador do termo que envolve y, então:
b^2 = 9 implies b = raiz9 = 3
Portanto, o semi-eixo real a é 4 e o semi-eixo imaginário b é 3.

Resposta

O centro da hipérbole é (0, 1), o semi-eixo real a = 4 e o semi-eixo imaginário b = 3.

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