Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 3y = 3e^2t
O conteúdo envolve equações lineares de coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos:
  1. resolver a equação homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo 3e^2t;
  3. somar as partes para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0
Resolvendo, temos
lambda = 3 ou lambda = -1
Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1e^3t + C2e^-t

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular yp para
y'' - 2y' - 3y = 3e^2t
Como e^2t não é solução da homogênea, tentamos
yp = A e^2t
Então
yp' = 2A e^2t, yp'' = 4A e^2t
Substituindo na equação, vem
(4A) e^2t - 2(2A)e^2t - 3(A)e^2t = (4A - 4A - 3A)e^2t = -3A e^2t
que deve ser igual a 3e^2t. Assim,
-3A = 3 Longrightarrow A = -1
Portanto,
yp(t) = -e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e^3t + C2e^-t - e^2t

Resposta

y(t) = C1e^3t + C2e^-t - e^2t

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