Esboce o campo de direções das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo de direções (slope field) da EDO
. Esse assunto faz parte de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a definição de campo de direções: em cada ponto
traçamos um pequeno segmento cuja inclinação é dada por
.
Passo 2
Em um campo de direções, a inclinação em cada ponto
é dada por
. Como nossa equação é autônoma (não depende de
), temos
. A reta onde
, isto é,
, é uma solução de equilíbrio e aparece como segmentos horizontais.
Passo 3
Para ter uma ideia das inclinações, escolhemos valores representativos de
e calculamos
:
-
→ (segmentos descendentes a para baixo) -
→ (segmentos horizontais) -
→ (segmentos ascendentes a ) -
→ (segmentos bem íngremes)
Passo 4
Agora, no plano
, em várias linhas horizontais para os valores escolhidos de
, desenhamos pequenos segmentos com as inclinações calculadas. Como a equação é autônoma, esses padrões se repetem para todo
.
Resposta
O campo de direções tem segmentos horizontais ao longo de
. Para
os segmentos descem (mais inclinados quanto menor for
), e para
sobem (mais inclinados quanto maior for
). Esse padrão se repete em todo o eixo
, formando uma família de retas de inclinações dadas por
.