Esboce o campo de direções das seguintes equações:
y^prime=2 y-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo de direções (slope field) da EDO y'=2y-1. Esse assunto faz parte de equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a definição de campo de direções: em cada ponto (t,y) traçamos um pequeno segmento cuja inclinação é dada por y'.

Passo 2

Em um campo de direções, a inclinação em cada ponto (t,y) é dada por y'=f(t,y). Como nossa equação é autônoma (não depende de t), temos f(y)=2y-1. A reta onde 2y-1=0, isto é, y=tfrac12, é uma solução de equilíbrio e aparece como segmentos horizontais.

Passo 3

Para ter uma ideia das inclinações, escolhemos valores representativos de y e calculamos m=f(y)=2y-1:
  • y=0 m=2cdot0-1=-1 (segmentos descendentes a 45^circ para baixo)
  • y=tfrac12 m=2cdottfrac12-1=0 (segmentos horizontais)
  • y=1 m=2cdot1-1=1 (segmentos ascendentes a 45^circ)
  • y=2 m=2cdot2-1=3 (segmentos bem íngremes)

Passo 4

Agora, no plano (t,y), em várias linhas horizontais para os valores escolhidos de y, desenhamos pequenos segmentos com as inclinações calculadas. Como a equação é autônoma, esses padrões se repetem para todo t.

Resposta

O campo de direções tem segmentos horizontais ao longo de y=tfrac12. Para y os segmentos descem (mais inclinados quanto menor for y), e para y>tfrac12 sobem (mais inclinados quanto maior for y). Esse padrão se repete em todo o eixo t, formando uma família de retas de inclinações dadas por 2y-1.

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