Verifique que as funções seguintes são soluções das equações diferenciais dadas:
x(t)=e^2 t-4,
x^prime-2 x=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função x(t) = e^2t - 4 satisfaz a equação diferencial dada, que é x' - 2x = 8 . Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial e como substituir a função nela para checar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de x(t) . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a t . Então, derivando x(t) = e^2t - 4 , temos:
x'(t) = ddt ( e^2t - 4 ) = 2e^2t

Passo 3

Agora, vamos substituir x(t) e x'(t) na equação diferencial x' - 2x = 8 . Isso significa:
x' - 2x = 2e^2t - 2(e^2t - 4)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
2e^2t - 2e^2t + 8 = 8
Perceba que os termos 2e^2t se cancelam, sobrando apenas 8.

Resposta

Como após a substituição e simplificação a equação resultou em 8 = 8 , a função x(t) = e^2t - 4 é uma solução da equação diferencial x' - 2x = 8 .

Exercícios relacionados