Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
x^2 y^prime prime-(x-0,1875) y=0, x>0 ; y1(x)=x^1 / 4 e^2 raizx

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^2y'' - l(x - 0,1875r)y = 0, x>0
e informa uma solução conhecida
y1(x)=x^1/4e^2raizx
Queremos achar uma segunda solução linearmente independente usando o método de redução de ordem.
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
Dividindo por x^2 obtemos
y'' - x - 0,1875x^2,y = 0,
logo
p(x)=0, q(x)=-x - 3/16x^2

Passo 2

Para p(x)=0, a fórmula de redução de ordem diz que uma segunda solução pode ser escrita como
y2(x)=y1(x),integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx = y1(x),integral 1y1(x)^2,dx
Como
y1(x)^2 = l(x^1/4e^2raizxr)^2 = x^1/2e^4raizx,
temos o integrando
1y1(x)^2 = x^-1/2e^-4raizx

Passo 3

Calculamos a integral
I(x)=integral x^-1/2e^-4raizx,dx
Fazemos a substituição t=raizx, então x=t^2 e dx=2t,dt. Assim
I(x) =integral t^-1e^-4tcdot2t,dt =2integral e^-4t,dt =-tfrac12,e^-4t+C =-tfrac12,e^-4raizx+C

Passo 4

Logo uma primitiva válida (desprezando constantes multiplicativas) é
integral 1y1^2,dx ;propto;-,e^-4raizx
Portanto
y2(x) = y1(x),l(-e^-4raizxr) = -,x^1/4e^2raizx,e^-4raizx = -,x^1/4e^-2raizx
Como multiplicar por uma constante não altera a independência linear, podemos escolher
y2(x)=x^1/4e^-2raizx

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
boxedy2(x)=x^1/4e^-2raizx,

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