Esboce o campo de direções das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo de direções da equação
Isto significa que, em cada ponto
do plano, a inclinação da pequena reta deve ser
Para montar esse esboço, vamos usar duas ideias principais: identificar isóclinas (linhas em que a inclinação é constante) e analisar pontos-chave para orientar o desenho.
Passo 2
Encontremos onde a inclinação vale zero e onde tende a infinito:
-
. Sobre o eixo (isto é, todos os pontos com ) as tangentes são horizontais. -
quando . No eixo ( ) a inclinação não está definida (tendência a vertical), então perto do eixo desenhamos segmentos quase verticais.
Passo 3
Isóclinas são dadas por
Em cada reta
todos os segmentos têm inclinação constante igual a
. Vamos escolher alguns valores de
:
-
com inclinação (45º ascendente). -
com inclinação (45º descendente). -
com inclinação (mais íngreme). -
com inclinação (mais suave). -
com inclinação . -
com inclinação .
Passo 4
Em pontos de grade, por exemplo
,
,
,
,
,
,
etc., calcule
e desenhe um pequeno segmento com essa inclinação. Exemplos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: , e assim por diante.
Passo 5
Note a simetria central:
ou seja, o campo de direções é simétrico em relação à origem. Também há simetria ímpar em relação ao eixo
:
Resposta
O campo de direções de
é obtido traçando, em cada ponto
, um pequeno segmento de reta com inclinação
. No esboço:
- No eixo
( ) as tangentes são horizontais. - Perto do eixo
( ) elas ficam quase verticais. - Sobre
: inclinação . - Sobre
: inclinação . - Sobre
: inclinação . - Sobre
: inclinação . - Sobre
: inclinação . - Sobre
: inclinação .
E assim, preenchendo os pontos de uma grade com esses pequenos segmentos, obtém-se o esboço completo do campo de direções, que é centralmente simétrico em relação à origem.