Esboce o campo de direções das seguintes equações:
y^prime=xy

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo de direções da equação
y'=xy
Isto significa que, em cada ponto (x,y) do plano, a inclinação da pequena reta deve ser
m=xy
Para montar esse esboço, vamos usar duas ideias principais: identificar isóclinas (linhas em que a inclinação é constante) e analisar pontos-chave para orientar o desenho.

Passo 2

Encontremos onde a inclinação vale zero e onde tende a infinito:
  • xy=0iff x=0. Sobre o eixo y (isto é, todos os pontos com x=0) as tangentes são horizontais.
  • xytoinfty quando yto0. No eixo x ( y=0) a inclinação não está definida (tendência a vertical), então perto do eixo x desenhamos segmentos quase verticais.

Passo 3

Isóclinas são dadas por
xy=cLong<=ftrightarrow y=xc
Em cada reta y=tfracxc todos os segmentos têm inclinação constante igual a c. Vamos escolher alguns valores de c:
  • c=1implies y=x com inclinação +1 (45º ascendente).
  • c=-1implies y=-x com inclinação -1 (45º descendente).
  • c=2implies y=tfracx2 com inclinação 2 (mais íngreme).
  • c=tfrac12implies y=2x com inclinação 0,5 (mais suave).
  • c=-2implies y=-tfracx2 com inclinação -2.
  • c=-tfrac12implies y=-2x com inclinação -0,5.

Passo 4

Em pontos de grade, por exemplo (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,-1), (2,-1), (-1,1) etc., calcule tfracxy e desenhe um pequeno segmento com essa inclinação. Exemplos:
  • Em (1,1): m=1/1=1.
  • Em (2,1): m=2/1=2.
  • Em (1,2): m=1/2=0,5.
  • Em (1,-1): m=1/(-1)=-1.
  • Em (-1,-1): m=(-1)/(-1)=1, e assim por diante.

Passo 5

Note a simetria central:
y'(-x,-y)=-x-y=xy,
ou seja, o campo de direções é simétrico em relação à origem. Também há simetria ímpar em relação ao eixo y:
y'(-x,y)=-xy=-xy

Resposta

O campo de direções de y'=tfracxy é obtido traçando, em cada ponto (x,y), um pequeno segmento de reta com inclinação tfracxy. No esboço:
  • No eixo y ( x=0) as tangentes são horizontais.
  • Perto do eixo x ( y=0) elas ficam quase verticais.
  • Sobre y=x: inclinação +1.
  • Sobre y=-x: inclinação -1.
  • Sobre y=tfracx2: inclinação 2.
  • Sobre y=2x: inclinação 0,5.
  • Sobre y=-tfracx2: inclinação -2.
  • Sobre y=-2x: inclinação -0,5.
E assim, preenchendo os pontos de uma grade com esses pequenos segmentos, obtém-se o esboço completo do campo de direções, que é centralmente simétrico em relação à origem.

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