Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+y=3 sen(2 t)+t cos (2 t).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 3sen(2t) + tcos(2t)
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução complementar é
yh(t) = C1cos t + C2sen t

Passo 3

Para a parte particular fazemos yp = yp1+yp2, onde
1. yp1 resolve y''+y=3sen(2t). Como 2i não é raiz da característica, usamos o palpite
yp1 = Acos(2t) + Bsen(2t)
Derivando e substituindo em y''+y=3sen(2t) obtemos os coeficientes:
yp1''+yp1 = (-4A+A)cos(2t)+(-4B+B)sen(2t) = -3Acos(2t)-3Bsen(2t)
Igualando a 3sen(2t) -3A=0Rightarrow A=0 e -3B=3Rightarrow B=-1.
Logo
yp1 = -sen(2t)

Passo 4

2.
Calcula-se e iguala a . Após derivação e agrupamento obtem-se o sistema
Dessas equações vem , e . Assim

Passo 5

Somando as partes particulares:
yp = yp1+yp2 = -sen(2t);-t3cos(2t)+49sen(2t) = -t3cos(2t)-59sen(2t)

Passo 6

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(t) = C1cos t + C2sen t ;-;t3cos(2t);-;59sen(2t)

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1cos t + C2sen t - t3cos(2t) - 59sen(2t)

Exercícios relacionados