Encontre a solução geral dos seguintes problemas de valor inicial:
ly^prime tg x=y y(pi6)=-12

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem separável
y'(x),tan x = y(x)
com a condição inicial yl(tfracpi6r) = -tfrac12. Vamos resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a derivada isolada, fica
dydx = ytan x = y,cot x

Passo 3

Separamos as variáveis e integramos em ambos os lados:
integral 1y,dy = integral cot x,dx

Passo 4

Calcular as integrais:
lnlvert yrvert = lnlvertsin xrvert + C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando,
lvert yrvert = e^C,lvertsin xrvert Longrightarrow y(x) = K,sin x,
em que K é uma constante arbitrária (absorvendo o sinal de e^C).

Passo 5

Usamos a condição inicial yl(tfracpi6r) = -tfrac12:
K:sin!l(tfracpi6r) = Kcdottfrac12 = -tfrac12 Longrightarrow K = -1
Logo a solução particular é
y(x) = -sin x

Resposta

y(x) = -sin x.

Exercícios relacionados