Esboce o campo de direções das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos o campo de direções da equação diferencial
Isso é um caso de equação autônoma, pois a inclinação
em cada ponto depende apenas de
, não de
. Para desenhar o campo de direções, vamos precisar:
– identificar pontos de inclinação zero (equilíbrios em );
– estudar o sinal e a variação de ;
– escolher valores de representativos, calcular
e desenhar pequenos segmentos de reta com essa inclinação em várias alturas.
– identificar pontos de inclinação zero (equilíbrios em
– estudar o sinal e a variação de
– escolher valores de
Passo 2
Encontramos as retas onde
. Basta resolver
que dá as soluções
e
. Nessas alturas todos os segmentos do campo de direções são horizontais.
Passo 3
Para entender como variam os sinais e magnitudes das inclinações, analisamos o produto
– Se
, então
é negativo e
, logo
.
– Se , então tanto
quanto
, logo
.
– Se , então
e
, logo
.
O máximo de ocorre em
, onde
.
– Se
– Se
O máximo de
Passo 4
Escolhemos alguns valores de
e calculamos
para desenhar segmentos:
Em cada altura
desenhamos um pequeno segmento com inclinação igual a esse valor. Por exemplo, em
os traços têm ângulo de
, em
um pouco menos íngreme, em
bem descendente, etc.
Passo 5
Unindo tudo, o esboço do campo de direções tem estas características:
– duas “zonas” de equilíbrio horizontais em e
;
– entre essas retas ( ) todos os traços sobem, de forma mais inclinada perto de
;
– abaixo de e acima de
todos os traços descem, cada vez mais fortes à medida que
se afasta dessas retas.
– duas “zonas” de equilíbrio horizontais em
– entre essas retas (
– abaixo de
Resposta
O campo de direções consiste em linhas horizontais em
e
; traços com inclinação positiva (máxima em
) para
; e traços com inclinação negativa para
e
.