Esboce o campo de direções das seguintes equações:
y^prime=y(2-y)

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o campo de direções da equação diferencial
y' = y,(2 - y)
Isso é um caso de equação autônoma, pois a inclinação y' em cada ponto depende apenas de y, não de x. Para desenhar o campo de direções, vamos precisar:
– identificar pontos de inclinação zero (equilíbrios em y);
– estudar o sinal e a variação de m(y)=y(2-y);
– escolher valores de y representativos, calcular m(y) e desenhar pequenos segmentos de reta com essa inclinação em várias alturas.

Passo 2

Encontramos as retas onde y'=0. Basta resolver
y,(2 - y) = 0
que dá as soluções y=0 e y=2. Nessas alturas todos os segmentos do campo de direções são horizontais.

Passo 3

Para entender como variam os sinais e magnitudes das inclinações, analisamos o produto
m(y)=y(2-y)
– Se y<0, então y é negativo e (2-y)>0, logo m(y)<0.
– Se 0<y<2, então tanto y>0 quanto (2-y)>0, logo m(y)>0.
– Se y>2, então y>0 e (2-y)<0, logo m(y)<0.
O máximo de m(y) ocorre em y=1, onde m(1)=1cdot(2-1)=1.

Passo 4

Escolhemos alguns valores de y e calculamos m(y) para desenhar segmentos:
c|c y & m(y)=y(2-y)hline -1 & -1cdot3=-3 0 & 0 0,5 & 0,5cdot1,5=0,75 1 & 1 1,5 & 1,5cdot0,5=0,75 2 & 0 3 & 3cdot(-1)=-3
Em cada altura y desenhamos um pequeno segmento com inclinação igual a esse valor. Por exemplo, em y=1 os traços têm ângulo de 45^circ, em y=0,5 um pouco menos íngreme, em y=-1 bem descendente, etc.

Passo 5

Unindo tudo, o esboço do campo de direções tem estas características:
– duas “zonas” de equilíbrio horizontais em y=0 e y=2;
– entre essas retas ( 0<y<2) todos os traços sobem, de forma mais inclinada perto de y=1;
– abaixo de y=0 e acima de y=2 todos os traços descem, cada vez mais fortes à medida que y se afasta dessas retas.

Resposta

O campo de direções consiste em linhas horizontais em y=0 e y=2; traços com inclinação positiva (máxima em y=1) para 0<y<2; e traços com inclinação negativa para y<0 e y>2.

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