Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
ly^prime prime+4 y=3 sen(2 t) y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 3sin(2t), y(0)=2, y'(0)=-1
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo é solução de EDO linear de 2ª ordem com termo forçante senoidal e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea
y'' + 4y = 0
A equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r=pm2i. Logo
yh(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Como o forçamento é 3sin(2t), que coincide com a forma da homogênea, usamos o palpite
yp(t) = tl(Acos(2t) + Bsin(2t)r)

Passo 4

Calculando derivadas:
yp' = Acos(2t) + Bsin(2t) + tl(2Bcos(2t) -2Asin(2t)r),
yp'' = 4Bcos(2t) -4Asin(2t) + tl(-4Acos(2t) -4Bsin(2t)r)
Então
yp'' + 4yp = l(4Bcos(2t)-4Asin(2t)r) + tcdot0 =4Bcos(2t)-4Asin(2t)
Igualando a 3sin(2t) obtemos
4B = 0, -4A = 3 Longrightarrow B=0,;A=-tfrac34

Passo 5

A solução geral fica
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) - tfrac34,tcos(2t)
Em t=0: y(0)=C1=2.
Derivando
y'(t) = -2C1sin(2t) +2C2cos(2t) -tfrac34cos(2t) +tfrac32,tsin(2t),
logo em t=0:
y'(0)=2C2 - tfrac34 = -1 Longrightarrow 2C2 = -tfrac14 Longrightarrow C2 = -tfrac18

Resposta

boxedy(t) = 2cos(2t) ;-;tfrac18,sin(2t);-;tfrac34,tcos(2t)

Exercícios relacionados