Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime}+2 t y=2 t e^{-t^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'+2t\,y = 2t\,e^{-t^2}.
Este é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + p(t)\,y = g(t)
identificando
p(t)=2t, \quad g(t)=2t\,e^{-t^2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2t\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t^2\bigr).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{t^2}y' + 2t\,e^{t^2}y = 2t\,e^{t^2}\,e^{-t^2} = 2t.
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^2}y\bigr) = 2t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^2}y\bigr)\,dt = \int 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{t^2}y = t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{t^2}:
y = e^{-t^2}\bigl(t^2 + C\bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = \bigl(t^2 + C\bigr)\,e^{-t^2},
onde C é constante arbitrária.

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