Suponha que \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=6. É necessário que f seja definida em x=1 para calcular este limite? Se sim, qual seria o valor de f(1) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado afirma que
\lim_{x\to1}f(x)=6
e pergunta se é obrigatório ter f definida em x=1 para calcular esse limite, e, em caso afirmativo, qual seria o valor de f(1). O conteúdo envolvido é a definição de limite de função em um ponto, que não exige o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Pela definição de limite, dizer que
\lim_{x\to1}f(x)=6
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos |f(x)-6|<\varepsilon. Note que a condição 0<|x-1| exclui explicitamente x=1, ou seja, o valor de f(1) não entra na definição do limite.

Passo 3

Da definição acima concluímos que para calcular \lim_{x\to1}f(x) não é necessário que f esteja definida em x=1. O limite depende apenas dos valores de f(x) quando x se aproxima de 1, mas x\neq1.

Passo 4

Por outro lado, se quisermos definir f em x=1 de modo que f fique contínua nesse ponto, devemos fazer
f(1)=6,
pois continuidade em x=1 exige \lim_{x\to1}f(x)=f(1).

Resposta

Não é necessário que f esteja definida em x=1 para calcular \lim_{x\to1}f(x)=6.
Se quisermos atribuir um valor a f(1) de forma que f seja contínua em 1, então devemos definir f(1)=6.

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