Nos Exercícios de 1 a 8, calcule a integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{\,x+y}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx
Usaremos integração sucessiva: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{\,x+y}(x+y+z)\,dz.
Aqui x+y é constante em relação a z. Então
\int_{0}^{\,x+y}(x+y)\,dz =\,(x+y)\bigl[z\bigr]_{0}^{\,x+y} =(x+y)^2
e
\int_{0}^{\,x+y}z\,dz =\Bigl[\frac{z^2}{2}\Bigr]_{0}^{\,x+y} =\frac{(x+y)^2}{2}.
Somando,
\int_{0}^{\,x+y}(x+y+z)\,dz =(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2} =\frac{3}{2}(x+y)^2.

Passo 3

Substituindo no integral em y,
\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy =\frac{3}{2}\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy.
Fazendo a substituição u=x+y, quando y=0 temos u=x e quando y=x temos u=2x. Logo,
\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy =\int_{u=x}^{2x}u^2\,du =\Bigl[\frac{u^3}{3}\Bigr]_{x}^{2x} =\frac{(2x)^3 - x^3}{3} =\frac{8x^3 - x^3}{3} =\frac{7x^3}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2},
\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy =\frac{3}{2}\cdot\frac{7x^3}{3} =\frac{7}{2}x^3.

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{7}{2}x^3\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{1}x^3\,dx =\frac{7}{2}\Bigl[\frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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